Ερώτηση στην ταλάντωση με κρούση.

Το σύστημα µάζας – ελατηρίου του σχήματος ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο µε πλάτος Α και περίοδο Τ. Όταν το σώμα µάζας Σ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας συγκρούεται πλαστικά µε το σώμα Β, που έπεφτε ελεύθερα και το σύστημα συνεχίζει να ταλαντώνεται.

Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες:

1. Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης έµεινε η ίδια.
2. Μεταξύ των καταστάσεων ελάχιστα πριν και ελάχιστα µετά την κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής.
3. Μεταξύ των καταστάσεων ελάχιστα πριν και ελάχιστα µετά την κρούση στον οριζόντιο άξονα ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής.
4. Η περίοδος της ταλάντωσης αυξήθηκε.
5. Η ενέργεια της ταλάντωσης µειώθηκε.

.
Απάντηση:

.

Φθίνουσα Ηλεκτρική Ταλάντωση

.
Σε κύκλωμα RLC εκτελούνται φθίνουσες ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις, με αρχικό φορτίο Q₀. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές και ποιες λανθασμένες;

1. το μέγιστο φορτίο που έχει ο πυκνωτής μετά από κάθε ταλάντωση μειώνεται εκθετικά με το χρόνο
2. το αρχικό φορτίο του πυκνωτή τελικά εξαφανίζεται όταν σταματήσει η ταλάντωση
3. το αρχικό φορτίο του πυκνωτή δεν εξαφανίζεται. Το συνολικό φορτίο στο κύκλωμα είναι ίσο με μηδέν και όσο υπήρχε ενέργεια ταλάντωσης τα διαχωρισμένα αρνητικά και θετικά φορτία ταλαντωνόταν
4. Για τη συχνότητα ισχύει :

Απάντηση:
.

Εξαναγκασμένη και φθίνουσα Ηλεκτρική Ταλάντωση.

Για το κύκλωμα Β του σχήματος δίνονται L=2Η και C=2μF. Η γεννήτρια στο Α κύκλωμα έχει τάση:

v=200ημ500t, (μονάδες στο S.Ι.)

Να βρεθούν:

1. Το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή,
2. Η μέγιστη ενέργεια του πυκνωτή και του πηνίου. Να σχολιάστε το αποτέλεσμα.
3. Σε μια στιγμή που το φορτίο του πυκνωτή είναι μέγιστο, έστω t=0, ανοίγουμε το διακόπτη δ.

…….α) Να κάνετε τα διαγράμματα q=f(t) και i=f(t) (ποιοτικά διαγράμματα).
…….β) Η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης θα είναι ίση, μεγαλύτερη ή μικρότερη από 500rαd/s;
.
Απάντηση:
.

Εξαναγκασμένη ταλάντωση και ενέργειες.

Το κύκλωμα Α διεγείρει το Β κύκλωμα σε εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η τάση της γεννήτριας δίνεται από την εξίσωση:

v=40ημ(4000t + φ). (μονάδες στο S.Ι.)

Δίνεται για το Β κύκλωμα C=20μF, L=2mΗ και R=0,5Ω ενώ διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα με πλάτος έντασης Ι=0,1A, όπου για t=0, i= - 0,1 Α.

1. Ποια η γωνιακή (κυκλική) ιδιοσυχνότητα του Β κυκλώματος;
2. Να βρεθεί η εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το Β κύκλωμα καθώς και του φορτίου του πυκνωτή, σε συνάρτηση με το χρόνο.
3. Να υπολογιστεί η μέγιστη ενέργεια που αποθηκεύεται στο πηνίο και στον πυκνωτή του Β κυκλώματος.
4. Πόση θερμότητα παράγεται στον αντιστάτη σε χρονικό διάστημα 20s;

Προτροπή: Μελετήστε προηγούμενα την ανάρτηση:

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση και ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ.

.
Απάντηση:

.

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση και ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ.

Έστω ένα σώμα που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης της μορφής F=F₀ημ(ωt+φ₀) και που η απομάκρυνσή του δίνεται από τη σχέση x=Αημωt. Για την ταχύτητα ταλάντωσης έχουμε:

υ= dx/dt = Αω·συνωt

όπου ω η γωνιακή συχνότητα της εξωτερικής δύναμης, δηλαδή η συχνότητα του διεγέρτη.
Για την ταλάντωση αυτή ισχύει ότι U_max=Κ_max;
Ας πάρουμε το λόγο:
U_mαx/Κ_max= ( ½ kΑ²)/( ½ mυ_max²) = kΑ²/mΑ²ω² = k/mω² = mω₀²/mω² = ω₀²/ω² →

U_mαx/Κ_max= 4π²f₀²/4π²f₁² = f₀²/f². (1)

Όπου ω₀ η γωνιακή ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή.

Ας πάρουμε τώρα την καμπύλη συντονισμού.

Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις.
Α) Αν f_διεγ = f₁ όπου η συχνότητα f₁ είναι μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα f₀, η σχέση (1) δίνει:

U_mαx/Κ_max= f₀²/f² > 1 ή U_max> Κ_max.

Β) Αν f_διεγ = f₂ όπου η συχνότητα f₂ είναι μεγαλύτερη από την ιδιοσυχνότητα f₀, η σχέση (1) δίνει:

U_mαx/Κ_max= f₀²/f² τότε U max < Κ_max.

Γ) Αν f_διεγ = f₀ όπου f₀ ιδιοσυχνότητα, η σχέση (1) δίνει:

U_mαx/Κ_max= f₀²/f² = 1 ή U_max= Κ_max.

Συμπέρασμα:
Μόνο στην περίπτωση που η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, η μέγιστη δυναμική είναι ίση με την μέγιστη κινητική ενέργεια ταλάντωσης.

Και ερχόμαστε τώρα στο θέμα του ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ. Τι ονομάζουμε συντονισμό; Την περίπτωση που το πλάτος ή την περίπτωση που η υ_max είναι μέγιστη; Θα πείτε υπάρχει διαφορά;

Η απάντηση είναι ΝΑΙ. Ας πάρουμε τις γραφικές παραστάσεις του πλάτους της απομάκρυνσης και του πλάτους της ταχύτητας σε συνάρτηση με την συχνότητα του διεγέρτη.

Το πλάτος (της απομάκρυνσης) γίνεται μέγιστο για μια συχνότητα f₁ λίγο μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα f₀, ενώ το πλάτος της ταχύτητας γίνεται μέγιστο για συχνότητα ακριβώς ίση με την ιδιοσυχνότητα f₀. (προσέξτε λίγο και την διαφορά των δύο γραφικών παραστάσεων για πολύ μικρές τιμές της f_εξ.

Αν μιλήσουμε τώρα για μια εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις είναι:

Προσέξτε την απόλυτη ομοιότητα με βάση την αντιστοίχιση: x→Q, υ→Ι.
Στην περίπτωση τώρα της Μηχανικής ταλάντωσης, ο συντονισμός ορίζεται σαν η κατάσταση εκείνη που το πλάτος της ταλάντωσης είναι μέγιστο. Οπότε:
1) η καμπύλη συντονισμού είναι η καμπύλη (1).
2) Ο συντονισμός πρέπει να ορίζεται με βάση τη μεγιστοποίηση του πλάτους και όχι με βάση της συχνότητα του διεγέρτη. (Πρέπει να αποφεύγουμε να λέμε ότι όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα τότε έχουμε συντονισμό).
Στην περίπτωση της εξαναγκασμένης ηλεκτρικής ταλάντωσης, ο συντονισμός ορίζεται σαν εκείνη η κατάσταση όπου το πλάτος του ρεύματος γίνεται μέγιστο. Οπότε:
1) η καμπύλη συντονισμού είναι η καμπύλη (4).
2) Εδώ στον συντονισμό ισχύει f₀=f_εξ, οπότε μπορούμε να ορίσουμε τον συντονισμό και με βάση την συχνότητα.
.

Διαφορά φάσης και διακρότημα.

.

Στο σχήμα δίνεται η απομάκρυνση ενός σώματος που εκτελεί ταυτόχρονα δύο α.α.τ. με το ίδιο πλάτος Α. Δίνεται ακόμη t₁=2s. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

1. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν περίπου την ίδια συχνότητα.
   
2. Τη χρονική στιγμή t₁ οι δύο ταλαντώσεις παρουσιάζουν διαφορά φάσεως μεταξύ τους ίση με π.
   
3. Τη χρονική στιγμή t₂=3s οι δύο ταλαντώσεις παρουσιάζουν διαφορά φάσης μεταξύ τους ίση με 2π.
   
4. Η περίοδος του διακροτήματος είναι ίση με 2s.
   
5. Οι συχνότητες των δύο ταλαντώσεων είναι ίσες με f₁= 6,75Ηz και f₂=7,25Ηz.
   

.
Απάντηση:

.

Ρυθμοί μεταβολής στην Ηλεκτρική ταλάντωση.

Ο διακόπτης του παραπάνω κυκλώματος είναι κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα. Σε μια στιγμή ανοίγουμε τον διακόπτη, οπότε το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα το οποίο μεταβάλλεται όπως στο παρακάτω διάγραμμα.

Αν L= 0,01 Η και C= 4μF, ζητούνται για τη χρονική στιγμή t₁ όπου i=3 Α:

1. Το φορτίο του πυκνωτή.
2. Ο ρυθμός με τον οποίο αυξάνεται το φορτίο του πυκνωτή.
3. Ο ρυθμός με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια στον πυκνωτή.
4. Ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος.

.
Απάντηση:

.

Ταλάντωση συστήματος σωμάτων και γραφική παράσταση.

Το σώμα Σ₁ μάζας m₁=5kg ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος, προκαλώντας του συσπείρωση κατά 0,25m. Για t=0 αφήνουμε πάνω στο σώμα Σ₁ ένα δεύτερο σώμα Σ₂ μάζας m₂=3kg.

1. Ν’ αποδειχθεί ότι το σύστημα των δύο σωμάτων θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
2. Να βρεθεί η περίοδος και το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος.
3. Να γίνει η γραφική παράσταση σε συνάρτηση με το χρόνο, της δύναμης που δέχεται το σώμα Σ₂ από το Σ₁, αν η προς τα πάνω κατεύθυνση θεωρηθεί θετική.

Δίνεται g=10m/s².
.
Απάντηση:

Ταλάντωση συστήματος σωμάτων και γραφική παράσταση.

.