Κυριακή, 28 Σεπτεμβρίου 2008

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση και ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ.


Έστω ένα σώμα που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης της μορφής F=F0ημ(ωt+φ0) και που η απομάκρυνσή του δίνεται από τη σχέση x=Αημωt. Για την ταχύτητα ταλάντωσης έχουμε:
υ= dx/dt = Αω·συνωt
όπου ω η γωνιακή συχνότητα της εξωτερικής δύναμης, δηλαδή η συχνότητα του διεγέρτη.
Για την ταλάντωση αυτή ισχύει ότι Umaxmax;
Ας πάρουμε το λόγο:
Umαxmax= ( ½ kΑ2)/( ½ mυmax2) = kΑ2/mΑ2ω2 = k/mω2 = mω02/mω2 = ω022
Umαxmax= 4π2f02/4π2f12 = f02/f2. (1)
Όπου ω0 η γωνιακή ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή.
Ας πάρουμε τώρα την καμπύλη συντονισμού.

Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις.
Α) Αν fδιεγ = f1 όπου η συχνότητα f1 είναι μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα f0, η σχέση (1) δίνει:
Umαxmax= f02/f2 > 1 ή Umax> Κmax.
Β) Αν fδιεγ = f2 όπου η συχνότητα f2 είναι μεγαλύτερη από την ιδιοσυχνότητα f0, η σχέση (1) δίνει:
Umαxmax= f02/f2 τότε U max < Κmax.
Γ) Αν fδιεγ = f0 όπου f0 ιδιοσυχνότητα, η σχέση (1) δίνει:
Umαxmax= f02/f2 = 1 ή Umax= Κmax.
Συμπέρασμα:
Μόνο στην περίπτωση που η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, η μέγιστη δυναμική είναι ίση με την μέγιστη κινητική ενέργεια ταλάντωσης.

Και ερχόμαστε τώρα στο θέμα του ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ. Τι ονομάζουμε συντονισμό; Την περίπτωση που το πλάτος ή την περίπτωση που η υmax είναι μέγιστη; Θα πείτε υπάρχει διαφορά;
Η απάντηση είναι ΝΑΙ. Ας πάρουμε τις γραφικές παραστάσεις του πλάτους της απομάκρυνσης και του πλάτους της ταχύτητας σε συνάρτηση με την συχνότητα του διεγέρτη.

Το πλάτος (της απομάκρυνσης) γίνεται μέγιστο για μια συχνότητα f1 λίγο μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα f0, ενώ το πλάτος της ταχύτητας γίνεται μέγιστο για συχνότητα ακριβώς ίση με την ιδιοσυχνότητα f0. (προσέξτε λίγο και την διαφορά των δύο γραφικών παραστάσεων για πολύ μικρές τιμές της fεξ.
Αν μιλήσουμε τώρα για μια εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις είναι:

Προσέξτε την απόλυτη ομοιότητα με βάση την αντιστοίχιση: x→Q, υ→Ι.
Στην περίπτωση τώρα της Μηχανικής ταλάντωσης, ο συντονισμός ορίζεται σαν η κατάσταση εκείνη που το πλάτος της ταλάντωσης είναι μέγιστο. Οπότε:
1) η καμπύλη συντονισμού είναι η καμπύλη (1).
2) Ο συντονισμός πρέπει να ορίζεται με βάση τη μεγιστοποίηση του πλάτους και όχι με βάση της συχνότητα του διεγέρτη. (Πρέπει να αποφεύγουμε να λέμε ότι όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα τότε έχουμε συντονισμό).
Στην περίπτωση της εξαναγκασμένης ηλεκτρικής ταλάντωσης, ο συντονισμός ορίζεται σαν εκείνη η κατάσταση όπου το πλάτος του ρεύματος γίνεται μέγιστο. Οπότε:
1) η καμπύλη συντονισμού είναι η καμπύλη (4).
2) Εδώ στον συντονισμό ισχύει f0=fεξ, οπότε μπορούμε να ορίσουμε τον συντονισμό και με βάση την συχνότητα.
.

12 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

κ. Μάργαρη, στο διάγραμμα Q-f η καμπύλη δεν πρέπει να ξεκινάει από την αρχή των αξόνων;
Με την ευκαιρία αυτή θα ήθελα να σας συγχαρώ για την εφευρηματικότητα των θεμάτων που πραγματεύεστε.

ΜΦΧ
Μπ. Χαλατζιάν

ΔΙΟΝΥΣΗΣ ΜΑΡΓΑΡΗΣ είπε...

Όχι. Η καμπύλη είναι ακριβώς ίδια με την καμπύλη Α-f στην Μηχανική ταλάντωση,

alekosV είπε...

κ. Μάργαρη νομίζω ότι στις μηχανικές εξαναγκασμένες ησταθερά επαναφοράς είναι διαφορετική απο τη σταθερά του ελατηρίου k.

ΔΙΟΝΥΣΗΣ ΜΑΡΓΑΡΗΣ είπε...

Δεν νομίζω. Αν μιλάμε για ταλάντωση σώματος δεμένου στο άκρο ενός ελατηρίου D=K. Πραγματικά ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα δίνει:
ΣF=mα → -Κx – bυ + Fεξ= mα →
m•(d2x/dt2)+b•(dx/dt)+Kx = Foημωt.
Αυτή είναι η διαφορική εξίσωση η λύση της οποίας μας δίνει την κίνηση του σώματος.
Προσοχή βέβαια D=Κ=mωο2 και όχι Κ=mω2.

Ανώνυμος είπε...

κ. Μάργαρη,λιγο ασχετο ισχυει η εκφραση θετικη ιδιοσυχνοτητα ,αρνητικη ιδιοσυχνοτητα ?.Εγω νομιζω οτι οι τιμες ειναι > 0 οποτε ολες θετικες .Ευχαριστω προκαταβολικα

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Δεν έχει νόημα η αρνητική ιδιοσυχνότητα, όπως και η αρνητική συχνότητα

george είπε...

πώς ξέρουμε ότι η fo δεν ισούται με την f1 στο διάγραμμα του πλάτους-με την fεξ..δηλαδή στο διάγραμμα υ-fεξ γιατί δεν υπάρχει η συχνότητα f1;

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Γιώργο
Στο διάγραμμα Α-fεξ συντονισμό έχουμε όταν η συχνότητα του διεγέρτη πάρει τιμή f1 που είναι λίγο μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα f0.
Στην περίπτωση αυτή το πλάτος γίνεται μέγιστο.
Η ταχύτητα όμως παίρνει την μέγιστη τιμή της όχι σε αυτή την περίπτωση, αλλά όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ακριβώς ίση με την f0

Ανώνυμος είπε...

Κ Μάργαρη μπορώ να ρωτήσω αν μπορούμε να πούμε οτι η καμπύλη της ταχήτυτας κατα το συντονισμό είναι συμμετρική γύρω απο το fo?

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Όχι δεν είναι συμμετρική

Ανώνυμος είπε...

Σένα σύστημα εξαναγκασμένης μηχανικής ταλάντωσης, για παράδειγμα στο σύστημα της αρχικής εικονας που έχετε,το σχολικό βιβλίο της φυσικής θετικής κατ. γ λυκείου στην αντίστοιχη παράγραφο αναφέρει, στο τέλος, το εξής:Το σημείο από το οποίο ξεκινούν όλες οι καμπύλες στο διάγραμμα A-f απέχει από την αρχή των αξόνων όσο απέχει το σημείο πρόσδεσης του σχοινιού από το κέντρο του τροχού Τ2, δηλαδή του τροχού που περιστρέφεται.Πώς αποδεικνύεται αυτο;

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Αν δούμε το σχήμα που έχει σχεδιαστεί και αφήσουμε ελεύθερο τον τροχό (χωρίς να τον θέσουμε σε περιστροφή με μια ορισμένη συχνότητα), αυτός θα περιστραφεί, ώστε το νήμα να πάρει τη διεύθυνση της ακτίνας και το σώμα θα κατέβει κατά d, όπου d η απόσταση του σημείου πρόσδεσης από το κέντρο του τροχού. Έτσι θα κάνει μια ταλάντωση με πλάτος Αο=d.