Έστω ένα σώμα που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης της μορφής F=F0ημ(ωt+φ0) και που η απομάκρυνσή του δίνεται από τη σχέση x=Αημωt. Για την ταχύτητα ταλάντωσης έχουμε:
υ= dx/dt = Αω·συνωt
όπου ω η γωνιακή συχνότητα της εξωτερικής δύναμης, δηλαδή η συχνότητα του διεγέρτη.Για την ταλάντωση αυτή ισχύει ότι Umax=Κmax;
Ας πάρουμε το λόγο:
Umαx/Κmax= ( ½ kΑ2)/( ½ mυmax2) = kΑ2/mΑ2ω2 = k/mω2 = mω02/mω2 = ω02/ω2 →
Umαx/Κmax= 4π2f02/4π2f12 = f02/f2. (1)
Όπου ω0 η γωνιακή ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή.Ας πάρουμε τώρα την καμπύλη συντονισμού.
Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις.
Α) Αν fδιεγ = f1 όπου η συχνότητα f1 είναι μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα f0, η σχέση (1) δίνει:
Umαx/Κmax= f02/f2 > 1 ή Umax> Κmax.
Β) Αν fδιεγ = f2 όπου η συχνότητα f2 είναι μεγαλύτερη από την ιδιοσυχνότητα f0, η σχέση (1) δίνει:Umαx/Κmax= f02/f2 τότε U max < Κmax.
Γ) Αν fδιεγ = f0 όπου f0 ιδιοσυχνότητα, η σχέση (1) δίνει:Umαx/Κmax= f02/f2 = 1 ή Umax= Κmax.
Συμπέρασμα:Μόνο στην περίπτωση που η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, η μέγιστη δυναμική είναι ίση με την μέγιστη κινητική ενέργεια ταλάντωσης.
Και ερχόμαστε τώρα στο θέμα του ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ. Τι ονομάζουμε συντονισμό; Την περίπτωση που το πλάτος ή την περίπτωση που η υmax είναι μέγιστη; Θα πείτε υπάρχει διαφορά;
Η απάντηση είναι ΝΑΙ. Ας πάρουμε τις γραφικές παραστάσεις του πλάτους της απομάκρυνσης και του πλάτους της ταχύτητας σε συνάρτηση με την συχνότητα του διεγέρτη.
Το πλάτος (της απομάκρυνσης) γίνεται μέγιστο για μια συχνότητα f1 λίγο μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα f0, ενώ το πλάτος της ταχύτητας γίνεται μέγιστο για συχνότητα ακριβώς ίση με την ιδιοσυχνότητα f0. (προσέξτε λίγο και την διαφορά των δύο γραφικών παραστάσεων για πολύ μικρές τιμές της fεξ.
Αν μιλήσουμε τώρα για μια εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις είναι:
Στην περίπτωση τώρα της Μηχανικής ταλάντωσης, ο συντονισμός ορίζεται σαν η κατάσταση εκείνη που το πλάτος της ταλάντωσης είναι μέγιστο. Οπότε:
1) η καμπύλη συντονισμού είναι η καμπύλη (1).
2) Ο συντονισμός πρέπει να ορίζεται με βάση τη μεγιστοποίηση του πλάτους και όχι με βάση της συχνότητα του διεγέρτη. (Πρέπει να αποφεύγουμε να λέμε ότι όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα τότε έχουμε συντονισμό).
Στην περίπτωση της εξαναγκασμένης ηλεκτρικής ταλάντωσης, ο συντονισμός ορίζεται σαν εκείνη η κατάσταση όπου το πλάτος του ρεύματος γίνεται μέγιστο. Οπότε:
1) η καμπύλη συντονισμού είναι η καμπύλη (4).
2) Εδώ στον συντονισμό ισχύει f0=fεξ, οπότε μπορούμε να ορίσουμε τον συντονισμό και με βάση την συχνότητα.
.
16 σχόλια:
κ. Μάργαρη, στο διάγραμμα Q-f η καμπύλη δεν πρέπει να ξεκινάει από την αρχή των αξόνων;
Με την ευκαιρία αυτή θα ήθελα να σας συγχαρώ για την εφευρηματικότητα των θεμάτων που πραγματεύεστε.
ΜΦΧ
Μπ. Χαλατζιάν
Όχι. Η καμπύλη είναι ακριβώς ίδια με την καμπύλη Α-f στην Μηχανική ταλάντωση,
κ. Μάργαρη νομίζω ότι στις μηχανικές εξαναγκασμένες ησταθερά επαναφοράς είναι διαφορετική απο τη σταθερά του ελατηρίου k.
Δεν νομίζω. Αν μιλάμε για ταλάντωση σώματος δεμένου στο άκρο ενός ελατηρίου D=K. Πραγματικά ο 2ος Νόμος του Νεύτωνα δίνει:
ΣF=mα → -Κx – bυ + Fεξ= mα →
m•(d2x/dt2)+b•(dx/dt)+Kx = Foημωt.
Αυτή είναι η διαφορική εξίσωση η λύση της οποίας μας δίνει την κίνηση του σώματος.
Προσοχή βέβαια D=Κ=mωο2 και όχι Κ=mω2.
κ. Μάργαρη,λιγο ασχετο ισχυει η εκφραση θετικη ιδιοσυχνοτητα ,αρνητικη ιδιοσυχνοτητα ?.Εγω νομιζω οτι οι τιμες ειναι > 0 οποτε ολες θετικες .Ευχαριστω προκαταβολικα
Δεν έχει νόημα η αρνητική ιδιοσυχνότητα, όπως και η αρνητική συχνότητα
πώς ξέρουμε ότι η fo δεν ισούται με την f1 στο διάγραμμα του πλάτους-με την fεξ..δηλαδή στο διάγραμμα υ-fεξ γιατί δεν υπάρχει η συχνότητα f1;
Γιώργο
Στο διάγραμμα Α-fεξ συντονισμό έχουμε όταν η συχνότητα του διεγέρτη πάρει τιμή f1 που είναι λίγο μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα f0.
Στην περίπτωση αυτή το πλάτος γίνεται μέγιστο.
Η ταχύτητα όμως παίρνει την μέγιστη τιμή της όχι σε αυτή την περίπτωση, αλλά όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει ακριβώς ίση με την f0
Κ Μάργαρη μπορώ να ρωτήσω αν μπορούμε να πούμε οτι η καμπύλη της ταχήτυτας κατα το συντονισμό είναι συμμετρική γύρω απο το fo?
Όχι δεν είναι συμμετρική
Σένα σύστημα εξαναγκασμένης μηχανικής ταλάντωσης, για παράδειγμα στο σύστημα της αρχικής εικονας που έχετε,το σχολικό βιβλίο της φυσικής θετικής κατ. γ λυκείου στην αντίστοιχη παράγραφο αναφέρει, στο τέλος, το εξής:Το σημείο από το οποίο ξεκινούν όλες οι καμπύλες στο διάγραμμα A-f απέχει από την αρχή των αξόνων όσο απέχει το σημείο πρόσδεσης του σχοινιού από το κέντρο του τροχού Τ2, δηλαδή του τροχού που περιστρέφεται.Πώς αποδεικνύεται αυτο;
Αν δούμε το σχήμα που έχει σχεδιαστεί και αφήσουμε ελεύθερο τον τροχό (χωρίς να τον θέσουμε σε περιστροφή με μια ορισμένη συχνότητα), αυτός θα περιστραφεί, ώστε το νήμα να πάρει τη διεύθυνση της ακτίνας και το σώμα θα κατέβει κατά d, όπου d η απόσταση του σημείου πρόσδεσης από το κέντρο του τροχού. Έτσι θα κάνει μια ταλάντωση με πλάτος Αο=d.
Κ. Μάργαρη,
Είναι γνωστό ότι στην εξαναγκασμένη ταλάντωση όταν fδιεγ=0, τότε (πλάτος της ταλάντωσης) Α≠0 και πλάτος της ταχύτητας υ=0. Ποια η φυσική σημασία των παραπάνω καταστάσεων;
Πως είναι δυνατόν να έχουμε πλάτος ταλάντωσης άρα να έχουμε ταλάντωση και να μην έχουμε πλάτος ταχύτητας, δηλαδή να μην έχουμε ταχύτητα;
Αγαπητέ φίλε, από πού είναι γνωστό ότι:
"Είναι γνωστό ότι στην εξαναγκασμένη ταλάντωση όταν fδιεγ=0, "
Δεν νομίζω ότι αν ασκηθεί εξωτερική δύναμη με μηδενική συχνότητα, έχουμε περίπτωση εξαναγκασμένης ταλάντωσης, τουλάχιστον κατάσταση που να μελετάται με τη θεωρία της εξαναγκασμένης. Το σημείο f=0 δεν είναι σημείο της καμπύλης συντονισμού.
Εννοούσα fδιεγ να τείνει προς το μηδέν. Το σημείο του μέγιστου πλάτους και της μέγιστης ταχύτητας φαίνονται από τις καμπύλες συντονισμού που παρουσιάζονται στην ανάρτηση. Τα ερωτήματα παραμένουν.
Καλημέρα.
Αν εννοείς να υπάρχει συχνότητα, οσοδήποτε μικρή, τότε η ταχύτητα, μπορεί να είναι μικρή, αλλά όχι μηδενική.
Υπάρχει και ορισμένο πλάτος και ορισμένη μέγιστη ταχύτητα, για κάθε τιμή της συχνότητας. Όχι για την περίπτωση όμως f=0, η οποία δεν αφορά την εξαναγκασμένη ταλάντωση.
Δημοσίευση σχολίου