Πέμπτη, 5 Φεβρουαρίου 2009

Μηχανική στερεού και ΑΑΤ.

Από τον συνάδελφο Πέτρο Καραπέτρο πήρα δύο ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν την μηχανική στερεού και απλή αρμονική ταλάντωση. Αφού τον ευχαριστήσω και από την θέση αυτή για την προσφορά του, δίνω την πρώτη για μελέτη.

Ομογενής και συμπαγής κύλινδρος, μάζας M=200g και ακτίνας R=4cm, ισορροπεί σε οριζόντιο επίπεδο. Το στερεό είναι συνδεδεμένο με ιδανικό οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k=30N/m μέσω του κυρίου άξονα συμμετρίας του (ο άξονας ο οποίος είναι κάθετος στη βάση του κυλίνδρου και διέρχεται από το κέντρο μάζας του). Το στερεό μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από τον άξονα συμμετρίας του χωρίς τριβές.
Το ελατήριο αρχικά βρίσκεται στην κατάσταση ελευθέρου μήκους και στη συνέχεια εκτρέπουμε τον κύλινδρο οριζόντια κατά απόσταση A=8cm και αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο. Θεωρείστε ότι σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του ο κύλινδρος κυλίεται στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει.
i.     Να δείξετε ότι το σύστημα ελατηρίου-κυλίνδρου θα εκτελέσει μεταφορικά απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος A και να υπολογίσετε την σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης.
ii.    Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης-χρόνου της ταλάντωσης του συστήματος.
iii.    Να υπολογίσετε τη μέγιστη γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου.
iv.   Δίνεται ότι ο συντελεστής οριακής τριβής κυλίνδρου-επιπέδου είναι μs=0,6. Να βρείτε το άνω όριο του μεγίστου δυνατού πλάτους ταλάντωσης Αmax του συστήματος για το οποίο δεν παρατηρείται ολίσθηση του στερεού στο οριζόντιο επίπεδο.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2 και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου γύρω από τον άξονα περιστροφής του Ιcm= ½ ΜR2.

.

Δεν υπάρχουν σχόλια: