Παρασκευή, 26 Ιουνίου 2009

Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης

Ένα σώμα ηρεμεί δεμένο στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω, κατά d και το αφήνουμε να εκτελέσει φθίνουσα ταλάντωση.
Η εξίσωση που περιγράφει την κίνησή του, για μικρές τιμές της σταθεράς απόσβεσης, οπότε και έχουμε φθίνουσα ταλάντωση, είναι:
x= Α0e-Λt∙ημ(ω1t+φ0) (1)
Το σχολικό βιβλίο ορίζει, ότι υπάρχει μπροστά από το ημίτονο, σαν το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης. Είναι πράγματι έτσι;
Με αφορμή μια συζήτηση που ξεκίνησε στο δίκτυο http://scienceteachersnet.ning.com/ ο συνάδελφος Θοδωρής Παπασγουρίδης, πάνω στην έξοχη μελέτη του συναδέλφου Θρασύβουλου Μαχαίρα, ας το δούμε το θέμα με την βοήθεια του Interactive Physics.
Αν απομακρύνουμε το σώμα μάζας m=2kg κατά d=1m από την θέση ισορροπίας, ενώ το ελατήριο έχει σταθερά k=12Ν/m και b=3,5kg/s, ποια θα πρέπει να είναι η γραφική παράσταση της σχέσης (1);
Σύμφωνα με τα "ισχύοντα" και με αυτά που τόσα χρόνια διδάσκουμε στους μαθητές μας, θα περιμέναμε η γραφική παράσταση να έχει τη μορφή:
Αφού θεωρείται το Α0=1m και κάνοντας τις γραφικές παραστάσεις της σχέσης Α= Α0e-Λt και της συμμετρικής της, βρίσκουμε μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η απομάκρυνση του σώματος από την θέση x=0 (την αρχική θέση ισορροπίας). Βρίσκουμε με άλλα λόγια την περιβάλλουσα και χαράσσουμε μετά τη γραφική παράσταση.
Είναι έτσι τα πράγματα;
Τρέχουμε το Ι.Ρ και παίρνουμε την παρακάτω γραφική παράσταση!!!
Για προσέξτε συνάδελφοι την αρχική περιοχή. Δείτε την σε μεγέθυνση:
Υπάρχει μια περιοχή, όπου η συνάρτηση x=f(t) έχει μεγαλύτερη τιμή από την ασύμπτωτή της!!!
Πού είναι το λάθος; Μα στο ποιο είναι το πλάτος της φθίνουσας.
Η παράσταση Α0e-Λt δίνει την περιβάλλουσα της γραφικής παράστασης, αλλά δεν είναι η εξίσωση του πλάτους της φθίνουσας ταλάντωσης. Αυτό το Α0 δεν είναι η αρχική απομάκρυνση d=1m.
Να ευχαριστήσω και από τη θέση αυτή τον Θρασύβουλο Μαχαίρα, που μας άνοιξε τα μάτια!!!
Το παράδοξο αυτό το είχα διαπιστώσει πριν τέσσερα χρόνια, αλλά δεν το έψαξα και προφανώς το … ξεπέρασα ελαφρά τη καρδία…
Μπορείτε να τρέξετε το πρόγραμμα Ι.Ρ. και να παρακολουθείστε τα παραπάνω, κάνοντας κλικ εδώ.



8 σχόλια:

yannis είπε...

Η "φθίνουσα ταλάντωση" ΔΕΝ είναι ταλάντωση αφού κάθε ταλάντωση οφείλει τουλάχιστο να είναι περιοδική κίνηση.
Καταχρηστικά τη θεωρούμε ταλάντωση, οπότε τα φυσικά μεγέθη: πλάτος, περίοδος κτλ έχουν ένα βαθμό αυθαιρεσίας.
Το πρόβλημα στο οποίο αναφέρεσαι έχει τις ρίζες του σε αυτή ακριβώς την καταχρηστική παραδοχή.

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Θα συμφωνήσω ότι αν ως ταλάντωση ορίσουμε μια περιοδική άρα αναλλοίωτη παλινδρομική κίνηση, τότε πράγματι η κίνηση δεν είναι ταλάντωση και δεν έχει ούτε περίοδο ούτε πλάτος...
Επειδή όμως έχει επικρατήσει να μιλάμε για ταλάντωση, θα μπορούσαμε να "πειράξουμε" λίγο τον ορισμό λέγοντας ότι:
Ταλάντωση ονομάζουμε μια παλινδρομική κίνηση γύρω από μια ορισμένη θέση.
Με τον ορισμό αυτό, η περίπτωση φθίνουσας ταλάντωσης, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί στην περίπτωση μικρής απόσβεσης ή επί το ορθότερον στην περίπτωση της ασθενούς απόσβεσης όπου 4mD>b^2.

yannis είπε...

Αν πειράξουμε τον ορισμό της ταλάντωσης λέγοντας: "Ταλάντωση ονομάζουμε μια παλινδρομική κίνηση γύρω από μια ορισμένη θέση" δημιουργούνται διάφορα προβλήματα ορισμών.
Για παράδειγμα ένα μεθυσμένο μυρμήγκι που κινείται ακανόνιστα πάνω σε μία οδοντογλυφίδα εκτελεί ταλαντώσεις? Πως θα ορίσουμε περίοδο, πλάτος και θέση ισορροπίας μιας τέτοιας αλλόκοτης κίνησης?

Ας επιστρέψουμε όμως στο παράδειγμα της «ταλάντωσης» x(t)=A0*e^(-Λ t) cos(ωt).
Κάποιος θα έλεγε ότι περίοδο ορίζουμε το χρόνο μεταξύ δύο τοπικών μεγίστων της x-t συνάρτησης.
Κάποιος άλλος θα μπορούσε να ορίσει τη περίοδο ως το χρονικό διάστημα μεταξύ τρειων μηδενισμών της θέσης.
Ένας τρίτος θα όριζε την περίοδο ως το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο τοπικών μεγίστων της u-t συνάρτησης.
Οι τρεις παραπάνω ορισμοί είναι ισοδύναμοι σε μια ΑΑΤ αλλά στην εκθετικά φθίνουσα δεν δίνουν ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα.
Ούτε καν η θέση ισορροπίας δεν έχει αυτονόητο ορισμό. Είναι η θέση x=0 ή η θέση όπου ΣF=0?
Συνεπώς αν επεκτείνουμε τον ορισμό της ταλάντωσης ώστε να περιλαμβάνει και τις φθίνουσες θα πρέπει να συμφωνήσουμε σε ορισμούς των μεγεθών πλάτος, περίοδος, θέση ισορροπίας.
Κατά τη γνώμη μου τα προβλήματα που δημιουργούνται δεν είναι προβλήματα ουσίας αλλά διαφορετικών ορισμών (εξίσου καλών) που δίνει ο καθένας μας στα διάφορα φυσικά μεγέθη μιας φθίνουσας ταλάντωσης.

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Ναι θα συμφωνήσω ότι τελικά έχεις δίκιο, πράγματι υπάρχει πρόβλημα ορισμών. Αλλά δεν μπορώ από τη θέση αυτή, την συγκεκριμένη κίνηση που το σχολικό βιβλίο την ονομάζει ταλάντωση, εγώ να την βαπτίσω αλλιώς.

yannis είπε...

Καμία αντίρρηση με την υιοθέτηση των λέξεων «ταλάντωση», «πλάτος», «περίοδος», «θέση ισορροπίας» κτλ. Απλά στο πίσω μέρος του μυαλού μας να έχουμε πως στην φθίνουσα ταλάντωση το σημαινόμενο των λέξεων αυτών δεν ταυτίζεται 100% με αυτό που είχαμε συνηθίσει από τις ΑΑΤ.

Προσωπικά βρίσκω καλή τη παρουσίαση των φθινουσών ταλαντώσεων στο σχολικό βιβλίο. Προτιμάει να θυσιάσει ένα μικρό μέρος ακρίβειας –επιστημονικότητας κερδίζοντας αρκετά σε απλότητα. Αν παρουσιάζονταν οι φθίνουσες ταλαντώσεις με απόλυτη ακρίβεια θα έπρεπε αφενός να αυξηθεί η έκταση της παραγράφου από τις 2 στις 5-10 σελίδες και αφετέρου να χρησιμοποιηθούν προχωρημένα για τους μαθητές μαθηματικά. Δε νομίζω ότι αξίζει το κόπο.

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Ούτε και εγώ νομίζω ότι θα έπρεπε οι φθίνουσες ταλαντώσεις να μας απασχολήσουν περισσότερο. Θα έλεγα μάλιστα, θα έπρεπε να μας απασχολούν ακόμη λιγότερο.
Αλλά όταν το σχολικό βιβλίο ορίζει το πλάτος από την εξίσωση Α=Α0e^(Λt) και πάνω εκεί βασίζονται λάθος ασκήσεις και προεκτάσεις, υπάρχει πρόβλημα..
Θυμίζω τις ερωτήσεις του βιβλίου:
1.18, 1.20, 1,24

yannis είπε...

Το σχολικό βιβλίο ουσιαστικά ασχολείται με τις πολύ ασθενείς φθίνουσες ταλαντώσεις (δηλαδή όταν b^2/4m << D). Σε αυτή τη περίπτωση το πλάτος είναι πρακτικά ίσο με Α0e^(-Λt).
Στη σελίδα 19 του σχολικού γίνεται ένας υπαινιγμός στο ότι η ανάλυση που ακολουθεί δεν είναι απόλυτα ακριβείς. Λέει: «Όταν η σταθερά b μεγαλώνει... ...και η περίοδος παρουσιάζει μια μικρή αύξηση που στα πλαίσια αυτού του βιβλίου θεωρείται αμελητέα»

Στα προβλήματα που παρουσιάζουν οι συνάδελφοι η απόσβεση είναι αρκετά μεγάλη (είναι συγκρίσιμη με την κρίσιμη απόσβεση) οπότε λογικό είναι να παρουσιάζονται προβλήματα.

Και κάτι που ίσως θα σας ξενίσει: Σε κάθε φθίνουσα ταλάντωση της μορφής x(t)=A0*e^(-Λ t) cos(ωt) ορίζω ως «πλάτος» την ποσότητα A0*e^(-Λt).

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Έλαβα μια απάντηση από τον Θρασύβουλο Μαχαίρα προς τον Yannis, την οποία αναρτώ, αφού θα έλεγα ότι είναι σφαιρική, αλλά και "μακροσκελής".