Φθίνουσα Ταλάντωση 1.

Από τον Θοδωρή Παπασγουρίδη πήρα ένα κείμενο, πάνω στις φθίνουσες ταλαντώσεις που στηρίζεται στο Βιβλίο του Θρασύβουλου Μαχαίρα «Λάθη του σχολικού βιβλίου Φυσικής Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου».

Πριν το δώσω για μελέτη, ήθελα να ξεκαθαρίσουμε μερικά πράγματα, γιατί μάλλον πολύ εύκολα οδηγούμαστε σε παρεξηγήσεις. Μερικά ερωτήματα που μπαίνουν, άλλοτε καλοπροαίρετα και άλλοτε όχι.

· Δηλαδή θα πρέπει να διδάξουμε διαφορικές εξισώσεις στα παιδιά του Λυκείου;

· Γιατί ασχολείσθε τόσο με τις φθίνουσες;

· Τι σας έχει πιάσει να βγάλετε λάθη στο σχολικό βιβλίο;

· Νομίζω ότι καλά το βάζει το θέμα το σχολικό, ασχολείται με εύκολα πράγματα, δεν μπαίνει σε λεπτομέρειες, γιατί τόση μανία με το θέμα;

Πρώτα-πρώτα το βασικό:

Δεν ζητάει κανείς να διδάξουμε διαφορικές στους μαθητές. Δεν ζητάει κανείς να βάλουμε μαθηματικά στη μελέτη μας. Ίσα-ίσα ο Μαχαίρας στο βιβλίο του προτείνει να φύγει και η εξίσωση Α=Α₀∙e^-Λt, αφού δεν είναι το πλάτος της ταλάντωσης και πάνω εκεί κτίζονται ασκήσεις που μπερδεύουν τα παιδιά και η διδασκαλία να γίνει μόνο με ποιοτικά χαρακτηριστικά της κίνησης.

Η ανάδειξη του λάθους έχει τρεις στόχους:

Α) Πίεση προς το ΥΠΕΠΘ για διόρθωση του βιβλίου, ώστε να μην διδάσκουμε λάθος πράγματα στους μαθητές μας.

Β) Να υποχρεώσει όσους γράφουν εξωσχολικά βοηθήματα για μαθητές, να είναι προσεκτικοί στο περιεχόμενο των βιβλίων τους και να μην οδηγούνται με αφορμή την παραπάνω εξίσωση, σε εξεζητημένα θέματα, που δεν είναι Φυσική και είναι ΚΑΙ λάθος. Για παράδειγμα τι σχέση έχει η εξίσωση αυτή με την εξίσωση Ν=Ν₀∙e^-Λt, ώστε να μεταφέρουμε το χρόνο υποδιπλασιασμού της ραδιενεργού διάσπασης, στις φθίνουσες ταλαντώσεις;

Γ) Ο Καθηγητής που διδάσκει ένα μάθημα πρέπει να είναι γνώστης του αντικειμένου. Και μετά να αποφασίσει τι και πώς πρέπει να το διδάξει. Αν ξέρει ότι κάτι δεν στέκει επιστημονικά, θα είναι προσεκτικός στη διδασκαλία του. Είναι άλλο πράγμα να λες ότι η παραπάνω εξίσωση δίνει το πλάτος στην φθίνουσα ταλάντωση και άλλο πράγμα να λες, ότι στην περίπτωση που έχουμε πολύ-πολύ μικρή απόσβεση, μπορούμε να προσεγγίσουμε το πλάτος με την εξίσωση αυτή.

Σε τελευταία ανάλυση ας έχουμε την διάθεση να ακούσουμε τι έχει να μας πει κάποιος συνάδελφος, ο οποίος έχει μελετήσει σε βάθος ένα θέμα, πριν τρέξουμε να ρίξουμε το ανάθεμα, για κάτι που τελικά… δεν γνωρίζουμε.

Και τώρα διαβάστε το πρώτο μέρος της μελέτης.

-------------------------

Ξεκινώ με ένα απόσπασμα από κείμενο του Θρασύβουλου Κων. Μαχαίρα σε mail που είχα την τύχη να ανταλλάξω μαζί του:
Πιστεύω ότι ένας Φυσικός που διδάσκει σε Λύκειο, πρέπει να ξέρει ακριβώς το φαινόμενο και τη θεωρητική του κάλυψη ώστε ο ίδιος να κρίνει τα όρια των προσεγγίσεων, τις αποκλίσεις από το σωστό και να επανατοποθετήσει την αποκλειστική του ευθύνη στον τρόπο παρουσίασης, επιλογής ασκήσεων και λέξεων που θα χρησιμοποιήσει απαλύνοντας τις όποιες ελλείψεις του σχολικού και των φροντιστηριακών βιβλίων. Όχι καταργώντας το σχολικό, αλλά προφυλάσσοντας τον εαυτό του και τους μαθητές του από ασκησιολογικούς εκτροχιασμούς.
Ας δούμε πιο αναλυτικά τη
ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Αν σ΄ένα μονοδιάστατο αρμονικό ταλαντωτή, εξασκηθεί κατά τη διεύθυνση της κίνησής του, δύναμη τριβής της μορφής F΄=-bυ, τότε η εξίσωση κίνησης x(t) του ταλαντωτή θα πληροί τον 2ο Νόμο Newton:


Η διαφορική εξίσωση (2) είναι γραμμική ομογενής 2^ας τάξεως και έχει ως λύσεις τρεις τελείως διαφορετικές συναρτήσεις, ανάλογα με τη σχέση που υπάρχει μεταξύ των παραμέτρων D, b και m .
Δηλαδή ανάλογα με τη σχέση που υπάρχει μεταξύ των τριών παραπάνω παραμέτρων το κινητό είναι δυνατό να εκτελέσει τρεις διαφορετικές κινήσεις που περιγράφονται από τρεις διαφορετικές εξισώσεις κίνησης.
Συγκεκριμένα:
1) Όταν b² > 4Dm, δηλαδή όταν Λ >ω, λέμε ότι έχουμε ισχυρή απόσβεση και η εξίσωση κίνησης είναι

2) Όταν b² = 4Dm, δηλαδή όταν Λ = ω, λέμε ότι έχουμε κρίσιμη απόσβεση και η εξίσωση κίνησης είναι

x(t)=e^-Λt(C₃+C₄∙t) (2.β)

όπου C₃ και C₄ είναι πραγματικοί αριθμοί.

3) Όταν 0<b² < 4Dm, δηλαδή όταν 0< Λ < ω, λέμε ότι έχουμε ασθενή απόσβεση και η εξίσωση κίνησης είναι

όπου χ₀ και υ₀ η αρχική θέση και αρχική ταχύτητα του κινητού.
Σε κάθε μία από τις παραπάνω τρεις εξισώσεις κίνησης πρέπει να υπάρχουν οπωσδήποτε δύο σταθερές. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι αποτελούν λύση γραμμικής διαφορικής 2^ας τάξεως. Οι σταθερές αυτές C₁, C₂, C₃, C₄, Α₀ και φ προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος, δηλαδή από την αρχική θέση και αρχική ταχύτητα του κινητού.
Από τα τρία είδη κινήσεων που μπορεί να επιβάλλει η F΄=-bυ, μόνο εκείνο της ασθενούς απόσβεσης είναι ταλάντωση. Και αυτό εφόσον επαναπροσδιοριστούν κάποιες έννοιες .... Συνεπώς ο όρος φθίνουσα ταλάντωση μπορεί και πρέπει να αποδίδεται μόνο στην κίνηση όπου έχουμε ασθενή απόσβεση.

Οι άλλες δύο κινήσεις (η ισχυρή και η κρίσιμη απόσβεση) είναι απλώς ευθύγραμμες κινήσεις και δεν προσφέρει ίσως τίποτε να τις λέμε απεριοδικές. Είπαμε ποτέ την ευθ. ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση απεριοδική;

Συνέχεια…
Δείτε και μια απόδειξη που μου έστειλε ο Σταύρος ο Λέτης, για το πλάτος από εδώ.