Δευτέρα, 30 Μαρτίου 2009

Διαγώνισμα στην μηχανική στερεού. 08-09

.1) Συμπληρώστε τα κενά: Η ροπή δύναμης ως προς σημείο έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί …… …… …… ……… ………, διεύθυνση που είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από …… … ……… ……. και φορά που ορίζεται από …. …… …… …….. ……..

Μονάδες 10
2) Καλλιτέχνης του πατινάζ που περιστρέφεται αρχικά έχει τα χέρια του απλωμένα και στη συνέχεια τα συμπτύσσει, τότε :
i) η ροπή αδράνειας του ως προς τον άξονα περιστροφής μεγαλώνει
ii) η στροφορμή του μικραίνει
iii) η στροφορμή του μεγαλώνει
iv) η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του μεγαλώνει
Μονάδες 10
3) Ομογενής κύλινδρος ακτίνας R κυλάει χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή μεταφορική ταχύτητα πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο.
Να αιτιολογηθεί η ορθότητα των προτάσεων :
i) Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου υπολογίζεται από τη σχέση : υcm = ωR
ii) Το σημείο Α του κυλίνδρου που είναι στην κατώτερη θέση έχει ταχύτητα μηδέν
iii) Το σημείο Β του κυλίνδρου που είναι στην ανώτερη θέση έχει διπλάσια ταχύτητα από αυτήν του κέντρου μάζας
Μονάδες 10+5+5=20
4) Μια ράβδος μήκους ℓ, μάζας m, στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α, ξεκινώντας με μηδενική γωνιακή ταχύτητα από την κατακόρυφη θέση. Σε μια στιγμή που η ράβδος σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία θ έχει γωνιακή ταχύτητα ω.
Χαρακτηρίστε σαν σωστές ή λαθεμένες τις παρακάτω προτάσεις.
i) Για τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου:
α. Είναι κάθετη στο επίπεδο του χαρτιού με φορά προς τα μέσα και διέρχεται από το μέσον Ο της ράβδου.
β. Αυξάνεται με σταθερό ρυθμό.
γ. Θα αποκτήσει μέγιστη τιμή, τη στιγμή που η ράβδος θα γίνει κατακόρυφη.
ii) Η συνολική ροπή που ασκείται στη ράβδο έχει μέτρο τ= ℓ/2 mg.ημθ.
iii) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου είναι ίσος με ℓ/2 mg.ημθ.
iv) Η ισχύς του βάρους στη θέση αυτή είναι Ρ=ℓ/2 mgω.ημθ.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας στις προτάσεις a) γ και c).
Μονάδες 3·4+2·4=20
5) Ένας τροχός μάζας Μ=30kg και ακτίνας R= ½ m ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ=30° με την επίδραση δύναμης F παράλληλης με το επίπεδο, όπως στο σχήμα.
        i) Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στον τροχό και να υπολογίστε τα μέτρα τους.
ii) Σε μια στιγμή t0=0 αυξάνεται το μέτρο της δύναμης στην τιμή F=230Ν, οπότε ο τροχός αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, οπότε τη στιγμή t1=2s έχει ανέβη κατά h=2m.
α) Βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού.
β) Υπολογίστε την ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του.
γ) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του τροχού, ως προς τον άξονα περιστροφής του, κατά την κύλισή του;
Δίνεται g=10m/s2.
Μονάδες 10+20+10=40
.

Κυριακή, 29 Μαρτίου 2009

Κύλιση σφαίρας.

Από τον συνάδελφο και παλιό γνώριμο σε θέματα επιμόρφωσης στις νέες τεχνολογίες, Αντώνη Αντωνίου, έλαβα μια άσκηση πάνω στην κύλιση μιας σφαίρας, καθώς και μια προσέγγιση πάνω στον τριγωνικό παλμό, που τέθηκε στον πρόσφατο διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών. Θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για την προσφορά του. Ας δούμε πρώτα την άσκηση.
-------------------
Μια ομογενής σφαίρα με μάζα και ακτίνα κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω σε οριζόντιο επίπεδο περιστρεφόμενη γύρω από έναν οριζόντιο άξονα ΟΑ (βλέπε σχήμα). Το κέντρο της σφαίρας κινείται με ταχύτητα υ σε κύκλο με ακτίνα R . Να βρεθεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας.

.

Στο άκρο νήματος ή στο άκρο ράβδου;

Δυο σφαίρες Α και Β έχουν την ίδια μάζα m=1kg. Η σφαίρα Α προσκολλάται στο άκρο ομογενούς ράβδου μάζας Μ=3kg και μήκους l=1,25m η οποία μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άλλο της άκρο Ο. Η Β σφαίρα δένεται στο άκρο αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκους l=1,25m, το άλλο άκρο του οποίου δένεται σε σταθερό σημείο Κ. Φέρνουμε τις δύο σφαίρες σε θέσεις τέτοιες ώστε η ράβδος και το νήμα να είναι οριζόντια, όπως στο σχήμα και σε μια στιγμή τις αφήνουμε ελεύθερες να κινηθούν.
Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λαθεμένες.
i)     Οι δύο σφαίρες θα αποκτήσουν την ίδια αρχική επιτάχυνση.
ii)    Ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Β, ως προς το Κ έχει μέτρο dL/dt= mgl.
iii) Ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας Α, ως προς τον άξονα περιστροφής που περνά από το Ο έχει μέτρο dL/dt= mgl.
iv)   Στην κατακόρυφη θέση οι δύο σφαίρες θα έχουν ίσες ταχύτητες υ12.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι= 1/3 Μl2 και g=10m/s2.



.

Πλάγια κρούση και μεταβολή της ορμής.


Μια σφαίρα Α, μάζας 2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ1=4m/s και σε μια στιγμή συγκρούεται με μια σφαίρα Β με αποτέλεσμα μετά την κρούση να κινείται με ταχύτητα υ2=3m/s σε διεύθυνση κάθετη στην αρχική, όπως στο σχήμα.
i)     Να βρεθεί η μεταβολή της ορμής της σφαίρας Α.
ii)    Ποια είναι η διεύθυνση της δύναμης που δέχτηκε η Α σφαίρα κατά την κρούση, θεωρώντας την σταθερή;
iii)   Σε ποια διεύθυνση θα κινηθεί η Β σφαίρα;

.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

Από τον συνάδελφο Πέτρο Καραπέτρο πήρα μια επαναληπτική άσκηση η οποία συνδυάζει ταλάντωση, κρούση και μηχανική στερεού. Αφού τον ευχαριστήσω και από την θέση αυτή για την προσφορά του, την παραδίδω για μελέτη.
-------------------------
Σώμα Σ μάζας m=2kg είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=200N/m, το άλλο άκρο του οποίου βρίσκεται στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Συσπειρώνουμε το ελατήριο κατά d=0,8m και το αφήνουμε ελεύθερο.
i)     Nα γράψετε τις εξισώσεις απομάκρυνσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης του σώματος Σ, θεωρώντας ως θετική την φορά την αντίθετη της αρχικής απομάκρυνσης.
ii)    Ποια χρονική στιγμή η κινητική ενέργεια ταλάντωσης γίνεται μέγιστη για πρώτη φορά;
 
Όταν το σώμα Σ διέρχεται για δεύτερη φορά από την θέση στην οποία η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι τριπλάσια της κινητικής, λόγω κάποιου εσωτερικού αιτίου, διασπάται σε δύο κομμάτια Σ1 και Σ2, με μάζες m1 και m2 αντίστοιχα, για τις οποίες ισχύει m2=3m1. Το σώμα Σ1 παραμένει δεμένο στο ελατήριο έχοντας, αμέσως μετά την διάσπαση, ταχύτητα διπλάσιου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης από αυτή που είχε το σώμα Σ λίγο πριν την κρούση, ενώ το σώμα Σ2 κινείται οριζόντια απομακρυνόμενο από το σώμα μάζας m1.
iii) Να βρεθεί το νέο πλάτος ταλάντωσης του σώματος Σ1 που προέκυψε από την διάσπαση.
iv)   Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κομματιού Σ2 αμέσως μετά την διάσπαση.

Το σώμα μάζας m2, που κινείται οριζόντια, συγκρούεται πλαστικά στην περιφέρεια δίσκου, μάζας Μ=3kg και ακτίνας R=1m, ο οποίος περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ωο=32rad/s, με διεύθυνση κάθετη στην σελίδα και φορά προς τον αναγνώστη.
Να υπολογίσετε:
v)    την γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος δίσκος-σώμα Σ2 αμέσως μετά την σύγκρουση.
vi)   την γραμμική ταχύτητα του σώματος μάζας Σ2, όταν το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος δίσκος-Σ2, ως προς τον άξονα περιστροφής του δίσκου,  γίνεται μέγιστο για πρώτη φορά.
Θεωρήστε ότι ο άξονας του ελατηρίου είναι εφαπτόμενος στην περιφέρεια του δίσκου.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι=1/2MR2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2.
 .

Σάββατο, 28 Μαρτίου 2009

Κυματοπαλμός και ταλάντωση ενός σημείου.

Με αφορμή ένα θέμα που τέθηκε στον πρόσφατο Διαγωνισμό Φυσικής της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών, μια άσκηση πάνω στα κύματα.....
------

To άκρο Ο ενός νήματος, μήκους 6m, το άλλο άκρο Γ του οποίου είναι δεμένο σε κατακόρυφο τοίχο, για t=0 τίθεται σε ταλάντωση οπότε κατά μήκος του νήματος διαδίδεται ένας παλμός. Η μορφή του νήματος τη χρονική στιγμή t1=2s φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα.

i)   Να βρεθεί η περίοδος ταλάντωσης του άκρου Ο.
ii)  Να κάνετε το διάγραμμα της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο ενός σημείου Σ που βρίσκεται στη θέση x=2m, μέχρι τη στιγμή t2=3s.
iii) Να σχεδιάστε τη μορφή του νήματος τη χρονική στιγμή t3=4,5s.

.

Κυριακή, 22 Μαρτίου 2009

Διαγωνισμός Ξανθόπουλου 2009

Πραγματοποιήθηκε σήμερα στην Δράμα ο ετήσιος διαγωνισμός στη μνήμη του Βασίλη Ξανθόπουλου.
Δείτε τα θέματα που εξετάσθηκαν οι μαθητές 

Σάββατο, 21 Μαρτίου 2009

Κύλιση σφαίρας κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου


Μια μικρή σφαίρα αφήνεται να κινηθεί από ύψος h=1,75m κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου κλίσεως θ=30°, οπότε κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και φτάνει στο οριζόντιο επίπεδο σε χρόνο t=1,4s. Δίνεται ότι η ακτίνα της σφαίρας είναι αμελητέα σε σχέση με το ύψος h, ενώ η ροπή αδράνειάς της ως προς μια διάμετρό της είναι της μορφής Ι=λΜR2 και g=10m/s2.
i)    Να βρεθεί ο συντελεστής λ.
ii)    Αν η σφαίρα στη συνέχεια της κίνησής της συναντήσει ένα δεύτερο λείο κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως επίσης θ=30°, σε πόσο ύψος h1 θα φτάσει κατά την άνοδό της στο επίπεδο αυτό;
  

.

Πέμπτη, 19 Μαρτίου 2009

Κύλιση με ολίσθηση σφαίρας σε κεκλιμένο επίπεδο.

Μια σφαίρα μάζας 2kg και ακτίνας 0,2m αφήνεται να κινηθεί κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου, κλίσεως θ=30°, από ύψος h=9m και φτάνει στη βάση του επίπέδου μετά από 3s.
i)     Ποια η τελική γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της σφαίρας;
ii)    Πόση θερμότητα παράγεται κατά την κίνησή της;
 Δίνεται η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο της Ι= 2/5 ΜR2 και g=10m/s2. 

Τετάρτη, 18 Μαρτίου 2009

Στροφορμή συστήματος σωμάτων.


Τα σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες 4kg και 1kg αντίστοιχα είναι δεμένα στα άκρα νήματος το οποίο περνά από τροχαλία ακτίνας 0,2m και μάζας Μ. Για t=0 αφήνουμε τα σώματα ελεύθερα να κινηθούν. Να βρεθεί η στροφορμή του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας τη χρονική στιγμή t1=4s.
Δίνεται g=10m/s2.
.


.

Τρίτη, 17 Μαρτίου 2009

ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΟΔΗΓΟΥ

Από τον φίλο και συνάδελφο Θοδωρή Παπασγουρίδη μια άσκηση στερεού που συνδυάζει ενέργεια αλλά και δυναμική. Να τον  ευχαριστήσω άλλη μια φορά για την προσφορά του αυτή.
---------------------------------
Ένας κούφιος κύλινδρος με λεπτά τοιχώματα, μάζας Μ=1Kg και ακτίνας R=0,1m, αφήνεται ελεύθερος στο σημείο Α από ύψος  h=1,8m. Ο κύλινδρος κυλά χωρίς να γλιστρά στο εσωτερικό του οδηγού του σχήματος. Ο οδηγός έχει τέτοια κλίση ώστε στο άκρο Γ, γίνεται κατακόρυφος. Ο κύλινδρος φθάνει στο άκρο Γ, το οποίο απέχει απόσταση  h/3 από το οριζόντιο επίπεδο, οπότε ξεφεύγει από τον οδηγό και κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω. Να υπολογίσετε:
1)  Το μέγιστο ύψος στο οποίο θα ανέβει ο κύλινδρος, καθώς και τον αριθμό των περιστροφών που θα εκτελέσει, από τη στιγμή που εγκαταλείπει τον οδηγό μέχρι να φθάσει στο μέγιστο ύψος.
2)  Την ταχύτητα της μεταφορικής κίνησης τη στιγμή που διέρχεται από το κατώτερο σημείο της τροχιάς του στο εσωτερικό του οδηγού καθώς και τη στατική τριβή που δέχεται από τον οδηγό εκείνη τη στιγμή.
3)  Το μέτρο της μεταφορικής και γωνιακής επιβράδυνσης τη στιγμή που εγκαταλείπει τον οδηγό στη θέση Γ, καθώς και το ρυθμό μεταβολής της κινητικής περιστροφικής, της κινητικής μεταφορικής και της δυναμικής βαρυτικής του ενέργειας, την ίδια στιγμή. Να επαληθεύσετε την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας  εκείνη τη στιγμή.
              Δίνεται: g=10m/s2.

Τρίτη, 10 Μαρτίου 2009

Στατική ισορροπία Στερεού.3

Και η τρίτη εφαρμογή του Θοδωρή Παπασγουρίδη
Ομογενής ράβδος ΑΕ μήκους l=4m βάρους W1=200 N ισορροπεί οριζόντια, συνδεδεμένη μέσω άρθρωσης Α με τον κατακόρυφο τοίχο και μέσω αβαρούς ράβδου ΓΔ με την οριζόντια οροφή, σε σημείο Γ όπου (ΑΓ)=1m. Στο άκρο Ε είναι συνδεδεμένο το πάνω άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=400 N/m. Στο άλλο άκρο του ελατηρίου είναι συνδεδεμένο σώμα μάζας m2=4 Kg, το οποίο συνδέεται μέσω αβαρούς τεντωμένου νήματος  ZH με το έδαφος. Αρχικά το σύστημα ισορροπεί και το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά Δlo=0,2m.
  1. Να υπολογίσετε την τάση του νήματος ΖΗ και τις δυνάμεις που δέχεται η ράβδος στα σημεία στήριξης Α και Γ.
  2. Κάποια στιγμή που τη θεωρούμε ως αρχή μέτρησης του χρόνου (t=0) κόβουμε το νήμα ΖΗ οπότε το σώμα m2 αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Αν θεωρήσουμε θετική φορά προς τα πάνω, να γράψετε την εξίσωση κίνησης του m2 και να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο τη χρονική στιγμή t=T/2, όπου Τ η περίοδος, μετά την έναρξη της ταλάντωσης.
Δίνεται:  g=10m/s2.
.

Στατική ισορροπία Στερεού.2

.Η δεύτερη εφαρμογή του Θοδωρή Παπασγουρίδη
.Στο άκρο Α ράβδου ΑΔ κρεμιέται μέσω ιδανικού νήματος σώμα μάζας M=10 Kg. Στο άλλο άκρο Δ κρεμιέται μέσω ιδανικού νήματος μήκους l=1,5 m σώμα μάζας  m=6 Kg. Η ράβδος ΑΔ στηρίζεται σε σημείο Γ, μεταξύ του άκρου Α και του μέσου Ο, ενώ μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το μέσο της. Κατά ποια γωνία θ, μετρημένη από την κατακόρυφο, πρέπει να εκτραπεί το νήμα στο οποίο είναι συνδεδεμένο το σώμα m, ώστε μόλις  αυτό διέρχεται από την κατακόρυφο η ράβδος να χάσει οριακά την επαφή της με το στήριγμα στο σημείο Γ; Ποια είναι τότε η ταχύτητα της μάζας m;
Δίνεται:  g=10m/s2.

.

Στατική ισορροπία Στερεού.

Από τον φίλο και συνάδελφο Θοδωρή Παπασγουρίδη πήρα τρεις Ασκήσεις που ανα φέρονται στην ισορροπία στερεού. Η μια συνδυάζει την ισορροπία με κυκλική κίνηση και η άλλη την ταλάντωση με την ισορροπία του στερεού. Θα ήθελα και από την θέση αυτή να τον ευχαριστήσω για την προσφορά του αυτή.
Η πρώτη από αυτές είναι η παρακάτω:

ΕΦΑΡΜΟΓΗ  1
 Ισοπαχής ομογενής ράβδος βάρους W=300 N κάμπτεται σε σημείο Α, ώστε να σχηματίσει ορθή γωνία. Τα μήκη των δύο τμημάτων συνδέονται με τη σχέση: (ΑΓ)=2(ΑΔ). Η ράβδος κρεμιέται από το σημείο Α, μέσω ιδανικού μη εκτατού νήματος, το άλλο άκρο του οποίου συνδέεται σε οροφή. Ποιο βάρος Wx πρέπει να κρεμάσουμε στο άκρο Δ, ώστε η ράβδος να ισορροπεί και τα δύο σκέλη της να σχηματίζουν την ίδια γωνία φ με την οριζόντια διεύθυνση;
 
.

Πέμπτη, 5 Μαρτίου 2009

Εφαρμογές στην αρχή διατήρησης της στροφορμής.

Από τον φίλο και συνάδελφο Θοδωρή Παπασγουρίδη, έλαβα τέσσερις ακόμη εφαρμογές, σαν συνέχεια της προηγούμενης  ανάρτησης Γενικευμένη μορφή 2ου Νόμου NEWTON και αρχές διατήρησης.  Ακολουθεί μια από τις εφαρμογές αυτές.

…………………………….....................

 
Άνθρωπος μάζας  m τρέχοντας σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ πηδά στο εσωτερικό ακίνητου κατακόρυφου τροχού ακτίνας  R. Ο τροχός έχει ροπή αδράνειας  I, ως προς οριζόντιο άξονα κάθετο στο επίπεδό του που διέρχεται από το κέντρο του. Να βρεθεί ποια είναι η ελάχιστη ταχύτητα του ανθρώπου ώστε αυτός αγκαλιάζοντας τον τροχό να φθάσει στο ψηλότερο σημείο. Οι τριβές στον άξονα περιστροφής θεωρούνται αμελητέες. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g, καθώς και ότι οι διαστάσεις του ανθρώπου είναι πολύ μικρές σε σχέση με την ακτίνα του τροχού οπότε μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο.

Μπορείτε να δείτε όλες τις εφαρμογές σε pdf.