Κυριακή, 4 Ιανουαρίου 2009

Πώς να εφαρμόσουμε τον θεμελιώδη νόμο στη σύνθετη κίνηση;

Πώς εφαρμόζουμε τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής σε μια σύνθετη κίνηση; Δουλεύουμε με αλγεβρικές τιμές των μεγεθών ή με τα μέτρα τους; Έστω για παράδειγμα ότι θέλουμε να μελετήσουμε την κίνηση ενός κυλίνδρου που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
Οι γνωστές μας σχέσεις ω=υ·R και αcmγων· R συνδέουν τα μέτρα των μεγεθών αφού τα διανύσματα είναι μεταξύ τους ασύμβατα κάθεταω  και αcm αγων.)
Για να μην μπλέξουμε λοιπόν τα πρόσημα των μεγεθών αυτών προτείνεται να χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις αφού ορίσουμε κάθε φορά θετικές φορές (για την μεταφορική και για την περιστροφική κίνηση) με τέτοιο τρόπο ώστε να μην προκύπτουν αρνητικές τιμές για την επιτάχυνση του κέντρου μάζας και για την γωνιακή επιτάχυνση. Ας το δούμε με ένα παράδειγμα.




Σημείωση: Στην 2) περίπτωση η τριβή πρέπει να έχει φορά προς τα πάνω επειδή η ροπή της πρέπει να προκαλέσει την αριστερόστροφη περιστροφή του κυλίνδρου, αφού η ροπή της F τείνει να περιστρέψει δεξιόστροφα τον κύλινδρο. Αντίθετα στην 3) περίπτωση δεν μπορώ να προβλέψω και την σχεδιάζω προς τα πάνω τυχαία και αν βρώ θετική τιμή συμπεραίνω ότι σωστά την σχεδίασα διαφορετικά θα έχει φορά προς τα κάτω.

15 σχόλια:

Νίκος είπε...

Στη πολύ καλή παρουσίαση αυτού του δύσκολου θέματος έχω να κάνω μια παρατήρηση.

Όταν ένα τροχός πρόκειται να αρχίσει κύλιση με την επίδραση δύναμης η οποία δεν διέρχεται από το Κ.Μ. ή φορά της στατικής τριβής είναι πολλές φορές φορές άγνωστη.

Το γεγονός ότι η συνισταμένη δύναμη τείνει να τον μετακινήσει (μεταφέρει) προς μια κατεύθυνση δεν αρκεί για τον προσδιορισμό της φοράς της στατικής τριβής διότι υπάρχει και η ροπή της δύναμης η οποία μπορεί να τείνει να τον μετακινήσει (περιστρέψει) προς την "αντίθετη" κατεύθυνση.

Για παράδειγμα όταν μια άσκηση αναφέρει ότι:

"έας τροχός ανεβαίνει με επιτάχυνση κεκλιμένο δάπεδο με την επίδραση δύναμης παράληλης στο κεκλιμένο δάπεδο η οποία ασκείται στο ανώτερο σημείο του"

δεν γνωρίζουμε τη φορά της στατικής τριβής διότι η δύναμη που ασκείται προκαλεί και επιταχύνουσα ροπή προς τα "πάνω" οπότε οι "νόμοι" θα καθορίσουν τη φορά της στατικής τριβής. Εμείς το μόνο που μπορούμε να κάνουμε είναι να υποθέσουμε.

Ευχαριστώ και πάλι τον κ. Μάργαρη για όσα μας προσφέρει.

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Ελπίζω με την αναδιατύπωση που έκανα να σας κάλυψα.

Νίκος είπε...

Η παρουσίαση έγινε ακόμα καλύτερη και πιο κατανοητή.

Η παρατήρηση μου τώρα είναι, ότι αν θεωρήσουμε περιστροφή περί τον στιγμιαία άξονα που διέρχεται από τα σημεία επαφής του κυλίνδρου με το επιπέδο μπορούμε να προβλέψουμε τη φορά της στατικής τριβής και στην περίπτωση 3.

Με "απλά λόγια" αν γνωρίζουμε τη "φορά" της ολικής ροπής ως τον στιγμιαίο άξονα περιστροφής μπορούμε να προβλέπουμε τη φορά της στατικής τριβής σε κάθε περίπτωση.

Αν είναι λάθος ο συλλογισμός μου, παρακαλώ να με διορθώσετε.

Νίκος είπε...

Μια απορία:
Το εκάστοτε υλικό σημείο του σχοινιού που βρίσκεται σε στιγμιαία επαφή με το ανώτερο σημείο του τροχού, δηλαδή τη στιγμή ακριβώς που εγκαταλείπει την περιστροφική κίνηση, έχει ή δεν έχει κεντρομόλο επιτάχυνση;

Όσο κι αν έψαξα δεν βρήκα σαφή απάντηση. Τα διάφορα βιβλία αναφέρουν μόνο για την επιτρόχιο.

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Για τον στιγμιαίο άξονα:
Δεν το βλέπω. Αν πάρουμε τις ροπές ως προς τον στιγμιαίο άξονα, η ροπή της στατικής τριβής μηδενίζεται, οπότε δεν βλέπω πώς μπορούμε να συμπεράνουμε την κατεύθυνσή της.
Για την κεντρομόλο:
Εφόσον το σημείο του νήματος βρίσκεται σε επαφή με τον κύλινδρο, εκτελεί και κυκλική κίνηση οπότε έχει και κεντρομόλο επιτάχυνση.

karxri είπε...

Μπορούμε να προβλέψουμε την φορά της στατικής τριβής και στην περίπτωση 3). Πράγματι όταν F>Wx/2 και θεωρήσουμε ότι δεν υπάρχει στατική τριβή, βάζοντας Τ=0 στις σχέσεις (1) και (2) θα βρούμε ότι:
Από την (1) F = Wx +macm και από τη (2) F=macm/2. Για να είναι συμβιβαστές οι δύο παραπάνω σχέσεις θα πρέπει να υπάρχει στατικη τριβή Τ ο θα πρέπει να ενισχύει το μεταφορικό αποτελέσμα και να μειώνει το στροφικό αποτέλεσμα της F. Αυτό συμβαίνει όταν η Τ είναι ομόρροπη της F δηλ. εχει φορά προς τα πάνω.
Στελνω σχετικό θέμα για ανάρτηση.

karxri είπε...

http://www.scribd.com/doc/3838352/-

Νίκος είπε...

Πιο απλά, αν θεωρήσουμε ότι ο τροχός εκτελεί στιγμιαία περιστροφή (μόνο), τότε η φορά της στατικής τριβής πρέπει να είναι τέτοια ώστε να αποφεύγεται η ολίσθηση των σημείων επαφής με το δάπεδο.


Για το άλλο θέμα, το ίδιο σημείο ταυτόχρονα αποτελεί τμήμα ενός ακίνητου νήματος...
Άντε να βγάλεις άκρη!!!

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Για τον Καrxri:
Ναι πράγματι με τον τρόπο αυτό μπορούμε να βρούμε την κατεύθυνση της τριβής, αλλά δεν την θεωρώ πρόβλεψη. Όταν χρησιμοποιώ εξισώσεις, τότε επιλύω το πρόβλημα ή έστω το διαιρευνώ.
Για τον Νίκο:
Δεν συμφωνώ, αφού χρησιμοποιούμε την λογική του στιγμιαίου άξονα, το σημείο αυτό δεν έχει ταχύτητα, οπότε δεν υπάρχει πρόβλημα ολίσθησης.
Όσο για την κεντρομόλο, υπάρχει πάντα το πρόβλημα του ορίου.
Αν για t=0 το σημείο του νήματος εγκαταλείπει τον κύλινδρο, από ποια πλευρά τείνουμε στο 0;
Από αριστερά t=0-, οπότε το σημείο είναι σε επαφή ή από δεξιά t=0+ οπότε το σημείο έχει εγκαταλύψει τον κύλινδρο;

Νίκος είπε...

Κύριε Μάργαρη για τη κεντρομόλο συμφωνούμε. Είναι αν θα το δεις με βάση το παρελθόν ή το μέλλον.

Το πρόβλημα είναι αν τεθεί θέμα όπου ο μαθητής θα πρέπι απλά να επιλέξει μια απάντηση και όχι να αιτιολογήσει...


Για το άλλο θέμα, για σκεφτείτε καλύτερα:
Η περιοχή επαφής λειτουργεί ως μια στιγμαία ακίνητη άρθωση.
Τα σημεία αυτά δεν έχουν ταχύτητα λόγω της στατικής τριβής.

Η στατική τριβή θα έχει φορά αντίθετη της ταχύτητας που θα αποκτούσαν τα σημεία του κυλίνδρου που είναι σε επαφή με το δάπεδο.

Διονύσης Μάργαρης είπε...

"Το πρόβλημα είναι αν τεθεί θέμα όπου ο μαθητής θα πρέπι απλά να επιλέξει μια απάντηση και όχι να αιτιολογήσει..."
Εδώ πράγματι φαίνεται η ευθύνη των εισηγητών των θεμάτων για την σωστή διατύπωση της ερώτησης.
Για τον στιγμιαίο άξονα δείτε την επόμενη ανάρτηση.

Μήτσος είπε...

Μια απορία για την κεντρομόλο:
Αν υπάρχει κεντρομόλος δεν θα πρέπει να αλλάζει η κατεύθυνση της ταχύτητας; Την t = 0 και την t = 0+ η ταχύτητα του σημείου έχει την ίδια κατεύθυνση.

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Για τον Μήτσο.
Τι εννοούμε ότι για t=0 και t=0+ η ταχύτητα είναι ίδια; Αναφερόμαστε στην ίδια χρονική στιγμή ή σε διαφορετικές; Κάθε στιγμή υπάρχει κεντρομόλος επιτάχυνση, αφού δεν υπάρχει χρονικό διάστημα που να παραμένει η ταχύτητα σταθερή.

Μήτσος είπε...

"Αν για t=0 το σημείο του νήματος εγκαταλείπει τον κύλινδρο, από ποια πλευρά τείνουμε στο 0;
Από αριστερά t=0-, οπότε το σημείο είναι σε επαφή ή από δεξιά t=0+ οπότε το σημείο έχει εγκαταλύψει τον κύλινδρο;"
Τις χρονικές στιγμές t = 0 και t = 0+ το μέτρο της ταχύτητας του σημείου του νηματος είναι διαφορετικό αλλά η κατεύθυνση της ταχύτητας του είναι ίδια. Υπαρχει επιτάχυνση στη διεύθυνση του σκοινιού αλλά οχι κεντρομόλος.

Μήτσος είπε...

Ευχαριστώ πολύ.