Δύναμη από τον άξονα περιστροφής.

Από τον συνάδελφο και φίλο Θοδωρή Παπασγουρίδη έλαβα μια ακόμη μελέτη πάνω στη δύναμη που δέχεται ένα στερεό από τον άξονα περιστροφής του. Αφού τον ευχαριστήσω για μια ακόμη φορά για αυτήν την προσφορά του, την δίνω για μελέτη.

Όταν ένα στερεό στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος δε διέρχεται από το κέντρο μάζας, τότε το κέντρο μάζας εκτελεί κυκλική κίνηση με επίπεδο τροχιάς κάθετο στον άξονα περιστροφής και κέντρο το σημείο του στερεού από το οποίο διέρχεται ο άξονας. Με βάση τον ορισμό του κέντρου μάζας, μπορούμε να εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής θεωρώντας όλη τη μάζα του στερεού συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1^η:

Ομογενής ράβδος μάζας Μ=4Κg κρέμεται οριζόντια από δύο νήματα ίδιου μήκους που είναι δεμένα στ’ άκρα της Α, Γ. Κόβουμε το νήμα στο άκρο Α. Να υπολογισθεί η επιτάχυνση του άκρου Α και η τάση του νήματος στο Γ αμέσως μόλις κοπεί το νήμα.  Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της και είναι κάθετος σε αυτή: Ι_cm=Ml²/12 και g=10m/s².

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

Μόλις κοπεί το νήμα στο άκρο Α η ράβδος αρχίζει να εκτελεί περιστροφική κίνηση γύρω από άξονα που διέρχεται από το άκρο Γ. Υπολογίζουμε τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα αυτό:

Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο της περιστροφικής κίνησης και έχουμε:

 

Τη χρονική στιγμή  γωνιακή ταχύτητα της ράβδου είναι μηδενική ω=0. Οπότε τα σημεία της ράβδου έχουν μηδενική κεντρομόλο επιτάχυνση. Έχουν όμως επιτρόχια επιτάχυνση.

Για το άκρο Α ισχύει:      

Ομοίως για το κέντρο μάζας ισχύει:

 

Η επιτάχυνση α_cm, το βάρος  W και η τάση T έχουν διεύθυνση κάθετη στη ράβδο. Με βάση τον ορισμό του κέντρου μάζας, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής θεωρώντας όλη τη μάζα του στερεού συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας και όλες τις δυνάμεις να ασκούνται στο σημείο αυτό:

 

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2^η:

Ομογενής ράβδος μάζας Μ=4Κg  μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α. Η ράβδος είναι αρχικά κατακόρυφη. Κάποια στιγμή μια απειροστά μικρή ώθηση στο άκρο Γ θέτει τη ράβδο σε περιστροφική κίνηση. Αν οι τριβές θεωρούνται αμελητέες, να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο άξονας περιστροφής στη ράβδο, τη στιγμή που διέρχεται από την οριζόντια θέση. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της και είναι κάθετος σε αυτή Ι_cm=Ml²/12 και g=10m/s².

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

Η ράβδος αρχίζει να εκτελεί περιστροφική κίνηση γύρω από άξονα που διέρχεται από το άκρο Α. Υπολογίζουμε τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα αυτό:

Εφόσον η μόνη δύναμη που παράγει έργο είναι το βάρος της ράβδου, η μηχανική της ενέργεια παραμένει σταθερή. Άρα:

 

Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο της περιστροφικής κίνησης τη στιγμή που διέρχεται από την οριζόντια θέση και έχουμε:

 

Την ίδια στιγμή το κέντρο μάζας της ράβδου έχει:

 

Αναλύουμε τη δύναμη από την άρθρωση σε δύο συνιστώσες: την F₁ στη διεύθυνση της ράβδου (οριζόντια) και την F₂ κάθετη στη διεύθυνση της ράβδου (κατακόρυφη).

Με βάση τον ορισμό του κέντρου μάζας, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής θεωρώντας όλη τη μάζα του στερεού συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας και όλες τις δυνάμεις να ασκούνται στο σημείο αυτό:

     Ακτινική διεύθυνση: 

     Εφαπτομενική διεύθυνση: 

Η δύναμη που ασκείται από τον άξονα περιστροφής στη ράβδο τη στιγμή που διέρχεται από την οριζόντια θέση έχει μέτρο:

  

Η γωνία θ που σχηματίζει ο φορέας της δύναμης με τη διεύθυνση της ράβδου είναι:

 

Θοδωρής Παπασγουρίδης