Παρασκευή, 9 Ιανουαρίου 2009

Περιστροφική κίνηση ράβδου.


Μια ομογενής ράβδος ΟΑ  στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το άκρο της Ο. Σε μια στιγμή βρίσκεται στη θέση του σχήματος έχοντας γωνιακή επιτάχυνση κάθετη στο επίπεδο του σχήματος με φορά προς τα έξω και με μέτρο αγων=2rad/s2, ενώ στρέφεται σύμφωνα από την φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω=1rad/s. Αν η ράβδος έχει μήκος l=2m και μάζα m=4kg, ζητούνται:
  1. Η ταχύτητα του μέσου Μ της ράβδου
  2. Η επιτρόχια επιτάχυνση του άκρου Α.
  3. Η επιτάχυνση του μέσου Μ της ράβδου.
  4. Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στην ράβδο.


.

16 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Ερώτηση μαθητή:
Κύριε με τι ισούται η επιτάχυνση των υλικών σημείων του άξονα ενός τροχού ο οποίος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ucm σε οριζόντιο δρόμο.

Απάντηση του κυρίου:
Με μηδέν παιδί μου, διότι τα υλικά σημεία του άξονα εκτελούν ευθ. ομαλή κίνηση.

Παρατήρηση "ψαγμένου" μαθητή:
Εγώ κύριε έχω διαβάσει ότι η κίνηση αυτή είναι καθαρά στροφική περί στιγμιαίο άξονα ... μπλα-μπλα, άρα τα υλικά σημεία του άξονα έχουν κεντρομόλο επιτάχυνση.

Εδώ τι απαντά ο κύριος κ. Μάργαρη;

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Δύο πράγματα:
1) Ο άξονας στρέφεται μαζί με τον τροχό:
Αν ναι τότε και ο άξονας έχει γωνιακή ταχύτητα ω ίδια με του τροχού και κάθε σημείο του κάνει κυκλική κίνηση οπότε έχει κεντρομόλο επιτάχυνση ακ=ω^2.r (1) όπου r η ακτίνα του άξονα. (τον θεωρούμε σαν ένα λεπτό κύλινδρο). Βέβαια αν η ακτίνα του άξονα θεωρηθεί αμελητέα, τότε από την σχέση (1) και η κεντρομόλος επιτάχυνση θα τείνει στο μηδέν.
2) Ο τροχός περιστρέφεται ενώ ο άξονας όχι. Ας φανταστούμε ένα άξονα ο οποίος κάνει μόνο μεταφορική κίνηση, γύρω από τον οποίο περιστρέφεται ο τροχός.
Παράδειγμα: Ο τροχός του ποδηλάτου περιστρέφεται αλλά ο άξονάς του κάνει μόνο μεταφορική κίνηση. Τότε δεν υπάρχουν προβλήματα κεντρομόλου επιτάχυνσης σημείων του άξονα.

Ελευθερία Νασίκα είπε...

Αγαπητέ συνάδελφε Ανώνυμε,
παρά το γεγονός ότι σε πολλές παρατηρήσεις που κάνετε συμφωνώ μαζί σας, παρακαλώ να αλλάξετε το ύφος των ερωτήσεών σας, γιατί όχι μόνο προσβάλλει τον κ.Μάργαρη, αλλά ενοχλεί εμένα και, πιστέψτε με, και πολλούς άλλους, που μπαίνουν σ'αυτή την ιστοσελίδα με σκοπό την ανταλλαγή απόψεων, που θα μας κάνει καλύτερους καθηγητές, και όχι την προσωπική αντιπαράθεση. Η προσωπική αντιπαράθεση δεν ωφελεί κανέναν και εν πάση περιπτώσει δεν είναι ανάγκη να γίνεται ανοιχτά μπροστά σε όλους μας.

Νίκος είπε...

Κυρία Νασίκα η αντιπαράθεση υπάρχει μόνο στη φαντασία σας.

Επειδή θεωρώ τον κ. Μάργαρη έμπειρο, έγκυρο και αξιόπιστο συνάδελφο, ζητώ τη γνώμη του και τις συμβουλές του σε δύσκολα ζητήματα που πιθανόν να αντιμετωπίσω στην τάξη η απλά και μόνο για το δικό μου ξεκαθάρισμα.
Θεωρώ τύχη για τον εαυτό μου την ανακάλυψη αυτού του blog.

Ταυτόχρονα διατυπώνω τις απόψεις μου τις αντιρρήσεις μου και την παραδοχή μου όταν αποδειχθεί μια άποψη μου λανθασμένη, ευχαριστώντας για τη διόρθωση που μου έγινε.

Φροντίζω οι διατυπώσεις μου σε θέματα φυσικής να είναι όσο γίνεται "λιτές" διότι έτσι θεωρώ ότι υπάρχει σαφήνεια. Αν αυτό σας ενοχλεί και σας προσβάλει μπορείτε να συνεχίσετε να ενοχλήστε και να προσβάλεστε.

Τέλος έχω να παρατηρήσω ότι ενώ υπογράφω με το μικρό μου όνομα εσείς με αποκαλείτε ανώνυμο, ενώ θα μπορούσατε να το χρησιμοποιήσετε στην προσφώνηση όπως κάνει ο κ. Μάργαρης. Αυτό κατα τη γνώμη μου δείχνει κακή διάθεση εκ μέρους σας.

Για να σας αφαιρέσω αυτόν τον τυπικό λόγο μομφής εναντίον μου και να μείνετε μόνο με τις φαντασίες σας, δίνω αναλυτικές πληροφορίες:
Όνομα: Νίκος
Επώνυμο: Ανδρεάδης
Ειδικότητα: Φυσικός
Σχολείο: Γενικό Λύκειο Νέας Κυδωνίας Νομού Χανίων
Έτος γεννήσεως:196? (Ας κρύψουμε και κάτι) :)
Διεύθυνση: Σελίνου 21Α, Χανιά, Τ.Κ 73131
Τηλέφωνο: 28210-88901

ΥΓ.
Κύριε Μάργαρη ευχαριστώ για την απάντηση, θα επανέλθω στο θέμα μας αργότερα.

Νίκος είπε...

Στο θέμα μας τώρα:
Θεωρούμε κύλινδρο που κυλίεται χωρίς ολίσθηση με σταθερή ucm με τον άξονα να στρέφεται μαζί με τον κύλινδρο, δηλαδή έχουμε ένα συμπαγές στερεό σώμα.

Αν θεωρήσουμε ότι το στερεό εκτελεί μια ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα ucm και μια ομαλή περιστροφική με γωνιακή ταχύτητα ω, τότε η επιτάχυνση των σημείων του άξονα είναι μηδέν ή τείνει στο μηδέν όπως γράφετε και εσείς.

Αν όμως θεωρήσουμε ότι το στερεό εκτελεί στιγμιαία περιστροφή περί τον άξονα που διέρχεται από τα σημεία επαφής του στερεού με το δάπεδο (αυτό πραγματικά συμβαίνει) τότε τα σημεία του άξονα έχουν κεντρομόλο επιτάχυνση διόλου ευκαταφρόνητη ακ = ω^2∙R, όπου R η ακτίνα του κυλίνδρου και ω η γωνιακή ταχύτητα της στιγμιαίας περιστροφής η οποία έχει την ίδια τιμή με τη γωνιακή ταχύτητα της παραπάνω θεώρησης των δύο κινήσεων.

Ελευθερία Νασίκα είπε...

Αγαπητέ κύριε Νίκο

ανοίγοντας τον υπολογστή μου σήμερα στην ιστοσελίδα του κ. Μάργαρη είδα 2 σχόλια, μια ερώτηση από τον ανώνυμο και μια απάντηση από τον κ.Μάργαρη. Πώς έχετε την απαίτηση να γνωρίζω ότι το σχόλιο που γράφει "ο ανώνυμος είπε" είναι δικό σας; Αν έλεγε "ο Νίκος είπε" φυσικά θα σας αποκαλούσα με το όνομά σας.
Όταν θέλουμε να κάνουμε μια ερώτηση σε κάποιον, που θεωρούμε έμπειρο, έγκυρο και αξιόπιστο και ζητάμε τη γνώμη του, δεν την βάζουμε στο στόμα του "ψαγμένου μαθητή" ούτε χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως "εδώ τι απαντά ο κύριος κ.Μάργαρη;", λέμε απλώς "στην ερώτηση ......., τι απαντούμε;" ή κάτι παρόμοιο. Η χρήση του τρίτου προσώπου κάνει το ύφος μας απρόσωπο και μερικές φορές ειρωνικό, ενώ η χρήση του πρώτου πληθυντικού το κάνει οικείο και συναδελφικό.
Μου έκανε εντύπωση το κοφτό (όχι λιτό) ύφος σας και σε άλλα σχόλιά σας, αλλά έχετε ξεπεράσει κάθε όριο αγένειας και ειρωνείας στην απάντηση που μου δώσατε, τη στιγμή που δε νομίζω ότι ήμουνα τόσο προσβλητική απέναντί σας. Να ξέρετε πως ακόμα και όταν απαντάμε σε κάποιον για να τον βάλουμε στη θέση του, όπως νομίζετε ότι κάνατε εσείς με μένα, αυτό πρέπει να γίνεται μέσα στα πλαίσια των "καλών τρόπων", και όχι με καυστικότητα και αγένεια.
Εξἀλλου, το αν είναι όλα αυτά στη φαντασία μου ή όχι, νομίζω πως είναι εύκολο να το καταλάβουν όσοι συνάδελφοι παρακολουθούν το ύφος των σχολίων, που κατά καιρούς κάνετε πάνω στα θέματα που παραθέτει ο κ. Μάργαρης.
Ευχαριστώ πολύ και δεν πρόκειται να επανέλθω στο θέμα διότι από αυτή τη θέση πρέπει να ανταλλάσσουμε απόψεις και όχι να μαλώνουμε μεταξύ μας.

Νίκος είπε...

Κυρία Νασίκα το τμήμα του σχολίου σας:
"παρά το γεγονός ότι σε πολλές παρατηρήσεις που κάνετε συμφωνώ μαζί σας,"
δείχνει ξεκάθαρα ότι γνωρίζατε ποιος έκανε το σχόλιο.

Στο αρχικό μου σχόλιο έκανα μια προσομοίωση που μπορεί να τύχει στην τάξη, τίποτα παραπάνω ή τίποτα λιγώτερο.

Τα μαθηματικά και η φυσική απαιτούν και κοφτό και λιτό ύφος.
Αν εσείς δεν το καταλαβαίνετε δικό σας θέμα αλλά δεν μπορείτε να μου το απαγορεύσετε.

Το σχόλιο μου απέναντι σας ήταν ΤΟΣΟ καυστικό ΟΣΟ αδιακιολόγητα προσβλητικό ήταν το δικό σας απέναντι μου.

Για να τελειώνουμε με τις φαντασίες σας, αν ο κύριος Μάργαρης ή οποιοσδήποτε άλλος νιώθει προσβεβλημένος από κάποιο σχόλιο μου να μου το υποδείξει ώστε να επανορθώσω, διότι σε κανένα σχόλιο μου δεν είχα σκοπό να προσβάλω κάποιον.

Αν βέβαια κάποιος προσβάλετε από την παρουσίαση ενός διαλόγου που μπορεί να συμβεί στη τάξη ε... τότε δεν μπορώ να κάνω κάτι.

Όσο για το "ψαγμένος" είναι χαρά για κάθε εκπαιδευτικό που του αρέσει το λειτούργημα του να έχει ψαγμένους μαθητές.

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Ψυχραιμία παιδιά…
Θεωρώ ότι η παρεξήγηση προέκυψε από το θέμα της Ανωνυμίας. Ο Νίκος θεωρούσε ότι έδωσε στίγμα. Αλλά το στίγμα δεν υπήρχε στο αρχικό ερώτημα.(ομολογώ ότι και εγώ θεωρούσα ότι απαντώ σε άλλον...) Έτσι θεωρώ ότι σωστά παρενέβη η Ελευθερία, θεωρώντας κακόβουλη την παρέμβαση. Κακόβουλη γιατί;
Γιατί ο υπογράφων προφανώς δεν είναι εδώ για να εξετάζεται καθημερινά επί παντός του επιστητού και δεν είναι υποχρεωμένος να έχει έτοιμες απαντήσεις σε οποιαδήποτε ερώτημα τίθεται.
Η σωστή κατά την γνώμη μου διαδικασία θα ήταν, αν κάποιος θέλει να βάλει ένα ερώτημα-θέμα προς συζήτηση, να ετοιμάσει μια μικρή εισήγηση την οποία να μου στείλει για να δημοσιευτεί και πάνω εκεί να γίνει η όποια ανταλλαγή απόψεων και αντιπαραθέσεων.
Αλλά ο συνάδελφος Νίκος είναι γνωστός από προηγούμενες συμμετοχές του στο διάλογο και έχω την γνώμη ότι η πρόθεσή του δεν ήταν καθόλου κακόβουλη. Πραγματικά βάζει πολύ σοβαρούς προβληματισμούς και αναδεικνύει πράγματα, που καλό είναι να ξεδιαλύνονται. Δημόσια τον ευχαρίστησα σε προηγούμενη ανάρτηση για την θετική του παρέμβαση που βοήθησε να τεθούν σωστά κάποια πράγματα. Θεωρώ λοιπόν πολύ θετικές τις προηγούμενες παρεμβάσεις του και ελπίζω να συνεχίσει να τις κάνει. Αν διαφοροποιούσε λίγο λοιπόν τον τρόπο παρέμβασης, νομίζω ότι τα πράγματα θα ήταν πολύ καλύτερα και θα αποφεύγαμε τις παρεξηγήσεις.
Έρχομαι τώρα στο αρχικό ερώτημα.
Φίλε Νίκο θα διαφωνήσω για την κεντρομόλο επιτάχυνση του άξονα ως προς τον στιγμιαίο άξονα περιστροφής. Αν θεωρήσουμε ότι ο άξονας δεν έχει πάχος, είναι μια γραμμή, κάθε σημείο της γραμμής αυτής κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και δεν μπορεί να έχει επιτάχυνση. Η ταχύτητά του παραμένει σταθερή.

Νίκος είπε...

Το θέμα θεωρείτε λήξαν.
Κύριε Μάργαρη φυσικά και δεν είστε υποχρεωμένος να απαντάτε σε κάθε ερώτηση.
Να διευκρινήσω ότι η αναφορά του ονοματός σας ήταν συμβολική και σήμαινε ότι έχω εμπιστοσύνη στη κρίση και στη γνώμη σας.
Όποιος έχει γνώμη ας την αναφέρει.
Είναι τόσο απλό.

Ας έρθουμε τώρα στην ευχάριστη και χωρίς παρεξηγήσεις διαφωνία μας.

Ο συμπαγής κύλινδρος που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει εκτελει ΜΙΑ κίνηση και αυτή είναι η στροφική περί τον στιγμιαίο άοξονα. Δεν υπάρχει στην πραγματικότητα άξονας ο οποίος να διέρχεται από το κέντρο του. Απλά θεωρούμε ότι υπάρχει άξονας όταν αναλύουμε τη κίνηση του σε δύο άλλες.

Ας πάρουμε πάλι ένα συμπαγή κύλινδρο ο οποίος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή ucm σε οριζόντιο δρόμο. Έστω Γ το σημείο επαφής με το δάπεδο κάποια στιγμή και ΑΒ μια οριζόντια διάμετρος την ίδια στιγμή.

Με τη θεώρηση των δύο κινήσεων τα σημεία Α και Β έχουν επιτάχυνση της οποίας η διεύθυνση είναι οριζόντια με φορά προς το κέντρο του κύκλου.

Με τη θεώρηση της μιας στιγμιαίας στροφικής κίνησης τα σημείο Α και Β έχουν επιτάχυνση της οποίας η κατεύθυνση είναι προς το σημείο Γ.

Με απλά λόγια έχουμε παραβίαση της αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων.

Όποιος γνωρίζει ας μου υποδείξει που κάνω λάθος.

Σταύρος Πρωτογεράκης είπε...

Καλησπέρα κύριε Μάργαρη.
Έχω την εντύπωση ότι είναι θέμα συστήματος αναφοράς. Όταν επιλέγουμε να θεωρήσουμε κίνηση ως προς τον στιγμιαίο άξονα περιστροφής που περνά από το σημείο επαφής με το έδαφος, το σύστημα αναφοράς μας είναι επιταχυνόμενο. Το σημείο επαφής στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς που κινείται με σταθερή ταχύτητα μαζί με το κέντρο μάζας έχει κεντρομόλο επιτάχυνση ω^2R. Επομένως όταν υπολογίζουμε επιταχύνσεις στο επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς θα πρέπει να προσθέτουμε (για οποιοδήποτε σημείο) στην κεντρομόλο επιτάχυνση που αναφέρει ο Νίκος (καλησπέρα Νίκο και σε σένα) και την παραπάνω κατακόρυφη επιτάχυνση, αν θέλουμε να βρίσκουμε το ίδιο αποτέλεσμα όπως στην περίπτωση εφαρμογής της αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων. Αν το κάνουμε, άμεσα βλέπουμε ότι το κέντρο μάζας δεν έχει επιτάχυνση (αντίθετα διανύσματα οι 2 επιταχύνσεις) και μετά από μερικές πράξεις τα άκρα μιας οριζόντιας διαμέτρου αποδεικνύεται ότι έχουν οριζόντιες επιταχύνσεις με φορά προς το κέντρο μάζας.
Για να είμαι δε ειλικρινής η σκέψη μου ξεκίνησε ανάποδα, δηλ. με την απαίτηση η επιτάχυνση του κέντρου μάζας να είναι μηδενική.

Νίκος είπε...

Τη καλησπέρα μου σε όλους που συμετέχουν σε αυτή τη δημιουργική συζήτηση.
Αφού ευχαριστήσω τον κ. Πρωτογεράκη για την υπόδειξη, να το διατυπωσω με δικά μου λόγια.

Την στιγμιαία περιστροφή τη βλέπει ένας παρατηρητής ό οποίος "κάθεται" στο στιγμιαίο άξονα περιστροφής, ο οποίος έχει επιτάχυνση ω^2R ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς.
Άρα θα πρέπει να προσθέσει την υποθετική δύναμη d' Alembert (αδράνειας) (-ma).

Τελικά ήταν τόσο απλό... (που λέει ο λόγος).

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Τελικά ήταν; τόσο απλό.
Συγχαρητήρια στον Σταύρο Πρωτογεράκη για την άρση της αντίφασης.

Ανώνυμος είπε...

Γεια σας!Πιθανότατα να είμαι εκτός θέματος αλλα θα ήθελα αν μπορείτε να μου εξηγήσετε (ή να με παραπέμψετε κάπου) πως και γιατί η κεντρομόλος δύναμη είναι η συνισταμένη των δυνάμεων.Σας ευχαριστώ προκαταβολικά!

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Στην παρούσα άσκηση η συνισταμένη δεν είναι η κεντρομόλος.
Αυτό συμβαίνει μόνον όταν η γωνιακή ταχύτητα παραμένει σταθερή.

Ανώνυμος είπε...

geia sas! mou aresei toso poly h fysikh pou eyxomai tou xronou na grapsw toso kala oso mou a3izei..omos re paidia eiste FYSIKOI den ginetai oi FYSIKOI na lene tetoia pragmata! kontepse na me parei o ypnos otan diavaza tin ''diamaxh'' sas! oi FYSIKOI eite to 8elete eite oxi eiste protypa! h' den 8a suzhtousate kan giayto to 8ema h' 8a to 3edialinate me mia ma8hmatikh eksiswsh h' enan kainourio 8emeliwdh nomo! P.s to site ayto mou exei fanei arketa xrisimo! eyxaristw gia ton kopo tou dimiourgou! no hard feelings :)

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Φίλε μου η Φυσική δεν είναι ένα σύνολο νόμων, κάτι σαν την Αγία Γραφή...
Υπάρχουν πράγματα, για τα οποία υπάρχει χώρος προβληματισμού και ανταλλαγής απόψεων.
Δεν είναι κακό να υπάρχει διαφωνία.
Και αυτή δεν λύνεται με μια εξίσωση.
Πάντα στην επιστήμη υπάρχουν παρόμοιες κόντρες.
Αυτές όμως δεν είναι για μαθητές....