Σάββατο, 31 Ιανουαρίου 2009

Ηλεκτρική Ταλάντωση με αρχική φάση.

Από τον συνάδελφο Κώστα Δακανάλη έλαβα δύο ασκήσεις στις Ηλεκτρικές ταλαντώσεις συνοδευόμενες με κάποια «ειδική» μεθοδολογία. Αφού τον ευχαριστήσω και από την θέση αυτή, τις δίνω για μελέτη.

Ο διακόπτης δ στο σχήμα, είναι κλειστός για πολύ χρόνο. Αν το πηνίο είναι ιδανικό, υπολογίστε τα παρακάτω :

  1. Πόσο φορτίο (q) έχει ο πυκνωτής;
  2. Πόσο ρεύμα (Ι) κυκλοφορεί στο κύκλωμα;
  3. Αν τη χρονική στιγμή t=0 ο διακόπτης δ ανοίξει, προσδιορίστε τον οπλισμό του πυκνωτή (τον x ή τον y) που θ' αποκτήσει πρώτος θετικό φορτίο.
  4. Αποδείξτε πως οι ηλεκτρικές ταλαντώσεις που εκτελεί το κύκλωμα LC, περιγράφονται από τις εξισώσεις i=+I×συνωt και q=+Q×ημωt.
.
.

14 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Όταν το ρεύμα κατευθύνεται προς τον οπλισμό του πυκνωτή που αρχικά (t=0) είχε θετικό φορτίο, τότε έχει θετική φορά.
Αυτό είναι καθαρή σύμβαση. Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ως θετική την ακριβώς αντίθετη. Επομένως θα πρέπει να διευκρινίζεται τη ρεύμα έχουμε την t=0.
Νομίζω ότι καλύτερα οι εξισώσεις να γράφονται q=Qημ(ωt +φ0) και i=Iσυν(ωt +φ0).
Έτσι συνδέονται και με τις αντίστοιχες μηχανικές και διεκολύνουν την περιγραφή με περιστρεφόμενο διάνυσμα.

Thodoris είπε...

Στα 3 πρώτα ερωτήματα θα συμφωνήσω με την προτεινόμενη λύση του καλού συναδέλφου από το Ηράκλειο. Στο 4ο όμως θα διαφωνήσω, όχι μόνο μαζί του αλλά και με τη μεγάλη πλειοψηφία των βιβλίων της αγοράς.Συνάδελφοι, νομίζω ότι το να αναπαράγουμε την ελλειπή πληροφορία που δίνει ένα βιαστικά γραμμένο σχολικό βιβλίο δεν βοηθά τους μαθητές. Γιατί να ισχύουν άλλες εξισώσεις για τις μηχανικές και άλλες για τις ηλεκτρικές ταλαντώσεις; Γιατί ο μαθητής να βομβαρδίζεται από ένα διαφορετικό πλήθος τριγωνομετρικών εξισώσεων;
Είναι τόσο δύσκολο να αναφέρουμε την αντιστοίχιση των μεγεθών της μηχανικής και της ηλεκτρικής ταλάντωσης; Αφού λοιπόν η απομάκρυνση αντιστοιχίζεται στο φορτίο και η ταχύτητα στην ένταση του ρεύματος, οι αρχικές εξισώσεις οφείλουν να έχουν τη μορφή:
q=Qημ(ωt+φ), i=Iσυν(ωt+φ) όπου η αρχική φάση καθορίζεται από τις αρχικές συνθήκες. Αν για t=0: q=+Q και i=0, τότε φ=π/2 οπότε με απλούς τριγωνομετρικούς μετασχηματισμούς μπορούμε ισοδύναμα να έχουμε: q=Qσυνωt, i=-Iημωt ώστε να συμφωνούμε με το "ευαγγέλιο". Η φυσική ερμηνεία του αρνητικού προσήμου στο ρεύμα, είναι ότι πολύ απλά το ρεύμα εκφόρτισης του πυκνωτή έχει αντίθετη φορά από το ρεύμα φόρτισης (προφανώς έχει προηγηθεί κάποια φόρτιση του πυκνωτή). Αν για t=0: q=0 και i=+I, τότε φ=0 και καταλήγουμε στις σχέσεις: q=Qημωt και i=Iσυνωt πολύ εύκολα και σε πλήρη αντιστοιχία με τις μηχανικές ταλαντώσεις. Τη στιγμή t=0: i=+I, αφού το ρεύμα στο πηνίο έχει την ίδια φορά με την προηγούμενη κατάσταση, πολύ απλά....Συμβάσεις όπως "Όταν το ρεύμα κατευθύνεται προς τον οπλισμό του πυκνωτή που αρχικά (t=0) είχε θετικό φορτίο, τότε έχει θετική φορά" είναι αυθαίρετες και ο καθένας μας θα μπορούσε να κάνει τις δικές του.
Όσο για το πότε φορτίζεται ο πυκνωτής, νομίζω ότι είναι προφανές: όταν αυξάνει το φορτίο του. Σε ποια χρονικά διαστήματα συμβαίνει αυτό; Ανάλογα με τη συνάρτηση του φορτίου: q=Qσυνωt ή q=Qημωt και την αντίστοιχη γραφική της παράσταση νομίζω ότι είναι φανερό. Όλα τα άλλα τρικ νομίζω ότι δεν βοηθούν στην εμπέδωση του φαινομένου. Δε μπορώ να ξεχάσω τη χρονιά 2003-04 (όταν ακόμα δίδασκα σε φροντιστήριο) που συνάδελφος σε γνωστό ιδιωτικό σχολείο στα Βόρεια Προάστεια, έκοψε τις μισές μονάδες του θέματος από μαθήτρια μου διότι έλυσε την αντίστοιχη άσκηση με αυτή της ανάρτησης, χρησιμοποιώντας ως αρχικές σχέσεις αυτές που αναφέρω: q=Qημ(ωt+φ), i=Iσυν(ωt+φ) και όχι τη σχέση i=-Iημ(ωt+φ). Με αυτά τρελλαίνομαι.....

Thodoris είπε...

Συγγνώμη, ξέχασα να υπογράψω το προηγούμενο σχόλιο:
Θοδωρής Παπασγουρίδης

physiart είπε...

Συμφωνώ απόλυτα με τα προηγούμενα λεγόμενα του Θοδωρή. Για τη λύση του εξαίρετου συναδέλφου από το Ηράκλειο, να πω ότι καλό είναι την αρχική φάση να τη χρησιμοποιούμε όπως την έχουμε ορίσει στις μηχανικές ταλαντώσεις.

Γιώργος Παναγιωτακόπουλος

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Να πω και εγώ την άποψή μου πάνω στο θέμα;
Έχει απόλυτα δίκιο ο Θοδωρής, αλλά...
Χρόνια επιμένω να το κάνω με αυτό τον τρόπο, στη διδασκαλία μου στο σχολείο και συναντώ τεράστιες αντιστάσεις, αφού οι μαθητές μου το έχουν μάθει διαφορετικά στο... Φροντιστήριο. Σε σημείο που ώρες - ώρες σκέφτομαι, αν καλά κάνω και αν με την επιμονή μου, τους κάνω πιο εύκολα τα πράγματα ή τους μπερδεύω...

Thodoris είπε...

Διονύση, επειδή ξέρω πολύ καλά ότι ανήκεις στην κατηγορία των ανθρώπων που δεν κάνουν οικονομία δυνάμεων (για να το πω με επιείκια), αλλά μοχθούν ώστε η φυσική να διδάσκεται όπως της αξίζει, νομίζω ότι επιβάλλεται να προσπαθεί κάποιος να δίνει αυτό που ξέρει ότι είναι το σωστό. Οι απλουστεύσεις ας περιμένουν. Σου θυμίζω την κουβέντα μας στο 9ο για την οριακή ταχύτητα στις ασκήσεις Η/Μ επαγωγής. Ο κάθε παπαγάλος μπορεί να τη βρεί. Πόσοι όμως έχουν καταλάβει το είδος της κίνησης που προηγείται; Φταίνε μόνο τα παιδιά ή μήπως όσοι τους οδηγούν σε μηχανιστικές-απλουστευτικές-σκοταδιστικές λύσεις; Για να μην παρεξηγηθώ, δεν υπάρχει λάθος φυσικής στη λύση με αρχικές συνθήκες i=-Iημ(ωt+φ), λάθος διδακτικής προσέγγισης υπάρχει (κατά τη γνώμη μου). Το λάθος ξεκίνησε από το βιαστικά γραμμένο σχολικό-ευαγγέλιο και ολοκληρώθηκε όταν το καλοκαίρι του 2001 στην 1η έκδοση των Α.-Σ. Σαββάλα, στην άσκηση 2.7 σελίδα 37
δόθηκε λύση με τις αναφερόμενες αρχικές συνθήκες. Αυτό ήταν. Η πλειοψηφία συναδέλφων σε σχολεία και φροντιστήρια την ακολούθησαν. Τονίζω, ότι δεν κρίνω την άποψη του κάθε συναδέλφου. Δικαίωμά του.
Δεν είναι όμως δικαίωμά του, να μην γνωρίζει, πολύ δε περισσότερο όταν το ζητά σε διαγώνισμα και να θεωρεί κάθε άλλη λύση λανθασμένη.
Χαίρομαι ιδιαίτερα με την τοποθέτηση του Γιώργου, του οποίου την άποψη σέβομαι και εκτιμώ. Θα ήθελα όμως και στα δικά του βιβλία (από τα οποία εγώ πήρα πράγματα και θεωρώ πραγματικά αξιόλογα) η στάση στο συγκεκριμένο θέμα να ήταν πιο ξεκάθαρη. Η διατύπωση: "επειδή θεωρούμε θετική τη φορά του ρεύματος πριν το άνοιγμα του διακόπτη, την t=0 είναι i=+I, άρα i=Iσυνωt ή i=Iημ(ωt+π/2)" αφήνει σκοτεινά σημεία. Γιώργο, επειδή σε διαβάζουν πολύ και καλά κάνουν, η στάση σου διαμορφώνει συνηδήσεις...
Υ.Γ: Η ναυαρχίδα της εξεταστικής δεινότητας του συναδέλφου που ανέφερα (μου έχει μείνει αξέχαστος)
ήταν ο ΜΕΓΙΣΤΟΣ ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή. Δηλαδή οφείλει ο εξεταζόμενος στη φυσική να θυμάται ότι ημ2ωt=2ημωtσυνωt. Αυτό είναι το κριτήριο για να δούμε αν έχει κατανοήσει την ηλεκτρική ταλάντωση;
Θοδωρής Παπασγουρίδης

Thodoris είπε...

Διονύση, Γιώργο
μετά τη χθεσινή μελέτη των εξαιρετικών αναρτήσεών σας για την αρχική φάση του κύματος, θέλω να επιβεβαιώσω αν έχω καταλάβει σωστά.
Όταν το κύμα έχει αρχική φάση π και διαδίδεται κατά τη θετική φορά, είναι δυνατόν να συμβαίνουν τα εξής δύο: Α) τη χρονική στιγμή t=0 το κύμα έχει φθάσει στη θέση χ=λ/2, δηλαδή αρχίζει να εκτελεί ταλάντωση το σημείο στη θέση αυτή. Τότε το μπροστινό μέρος του στιγμιότυπου θα έχει τη μορφή όρους, αφού κάθε σημείο αρχίζει να κινείται προς τα πάνω.
Το διάγραμμα φάσης-θέσης μια ορισμένη χρονική στιγμή t1, θα είναι φθίνουσα γραμμική συνάρτηση, όπου το σημείο που αρχίζει να ταλαντώνεται θα έχει φάση φ=0.H φάση του σημείου χ=0 θα είναι φ=ωt1+π.
Β) τη χρονική στιγμή t=0 το κύμα έχει φθάσει στη θέση χ=0, δηλαδή αρχίζει να εκτελεί ταλάντωση το σημείο στη θέση αυτή, κινούμενο όμως προς τα κάτω. Τότε το μπροστινό μέρος του στιγμιότυπου θα έχει τη μορφή κοιλάδας, αφού κάθε σημείο αρχίζει να κινείται προς τα κάτω.
Το διάγραμμα φάσης-θέσης μια ορισμένη χρονική στιγμή t1, θα είναι φθίνουσα γραμμική συνάρτηση, όπου το σημείο που αρχίζει να ταλαντώνεται θα έχει φάση φ=π.H φάση του σημείου χ=0 θα είναι φ=ωt1+π.Όμως τώρα σε αντίθεση με την πρώτη περίπτωση, η φθίνουσα συνάρτηση θα σταματά στην τιμή φ=π, αφού τιμές φάσεις μικρότερες από π δεν υπάρχουν.
Αν αυτά που ανέφερα είναι σωστά, τότε θέλω τη γνώμη σας για την πιο κάτω άσκηση:
Η πηγή βρίσκεται στη θέση χ=0 και τη στιγμή t=0, περνά από τη Θ.Ι (χωρίς να αναφέρεται η φορά κίνησης). Δίνεται διάγραμμα φάσης-θέσης τη στιγμή t=6s φθίνουσα συνάρτηση με τιμές για χ=0,φ=4π και για χ=3, φ=π όπου η ευθεία κόβεται, χωρίς να συνεχίζει μέχρι να μηδενιστεί η φάση.
Ζητείται η εξίσωση του κύματος.
Η γνώμη μου είναι η εξής: από το διάγραμμα φάσης-θέσης μπορούμε να πάρουμε 2 εξισώσεις. Εμείς όμως έχουμε 3 αγνώστους: περίοδο Τ, μήκος κύματος λ και αρχική φάση φ0. Άρα αδύνατο. Για να λυθεί πρέπει να πάρουμε ως αρχική φάση π, δηλαδή έναρξη κίνησης προς τα κάτω, κάτι που μόνο από το διάγραμμα φάσης-θέσης, χωρίς στιγμιότυπο, νομίζω δεν γίνεται αντιληπτό. Κάνω λάθος; Η άσκηση δόθηκε σε πειραματικό σχολείο του Πειραιά.
Ευχαριστώ για το χρόνο σας.

Σταύρος Πρωτογεράκης είπε...

Καλησπέρα σε όλους τους εκλεκτούς και ακαταπόνητους συναδέλφους. Δεν είμαι ο Διονύσης, ούτε ο Γιώργος αλλά θα ήθελα να κάνω ένα μικρό σχόλιο στο ζήτημα που έθεσε ο Θοδωρής. Αν στο διάγραμμα φάσης είναι φανερό ότι η φάση των σημείων πέρα από το x=3m είναι μηδενική, νομίζω πως μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η αρχική φάση είναι π rad με στιγμιότυπο που θα κατέληγε σε κοιλάδα. Εννοείται ότι είναι τραβηγμένο να δίνεται σε μαθητές, ακόμα κι αν είχαν προετοιμαστεί κατάλληλα. Πάντα βέβαια υπάρχουν τμήματα ειδικού ενδιαφέροντος όπου μπορεί καλοπροαίρετα να ζητούνται δύσκολα πράγματα.
Γενικότερα τώρα πάνω στο ζήτημα, νομίζω πως οποιαδήποτε αρχική φάση μεγαλύτερη από π rad δημιουργεί το ίδιο πρόβλημα: Αν δεν ξέρουμε προς τα πού ξεκίνησε να ταλαντώνεται η πηγή (ή κάποιο άλλο υλικό σημείο) θα πρέπει να σχεδιάσουμε 2 στιγμιότυπα, ένα που τελειώνει σε όρος και ένα σε κοιλάδα και φυσικά στις δύο περιπτώσεις το κύμα θα έχει φτάσει σε διαφορετική απόσταση από την αρχή. Το βρίσκω ωστόσο εξαιρετικά τραβηγμένο.
Σταύρος Πρωτογεράκης

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Καλησπέρα σε όλους
Θοδωρή με κάλυψε ο Σταύρος στο προηγούμενο σχόλιό του.
Χρειάζεται προσοχή η διατύπωση για να μην δημιουργούνται παρανοήσεις, αλλά και εγώ θα έλεγα ότι το κύμα δεν έχει πάει πέρα από τη θέση χ=3m, οπότε στη θέση που έχει φτάσει το κύμα η φάση είναι π και κατά προέκταση η αρχική φάση θα είναι π rad.

Thodoris είπε...

Καλησπέρα και πάλι,
τώρα που η κόρη μου κοιμάται μπορώ να γκρινιάξω με την ησυχία μου. Κατ'αρχήν χαιρετίσματα στην όμορφη Ρόδο και το Σταύρο, τον οποίο ευχαριστώ ιδιαίτερα για τη συμμετοχή του. Ας έρθουμε στο θέμα. Η εκφώνηση λέει ότι τη στιγμή t=0 η πηγή ΠΕΡΝΑ από τη Θ.Ι. ΔΕΝ λέει ότι ΑΡΧΙΖΕΙ να ταλαντώνεται. Άρα είναι δυνατό να ξεκίνησε πριν από Τ/2, οπότε το κύμα την t=0 φθάνει στο χ=λ/2,μεταφέροντας όρος. Αρχή χρόνου λαμβάνουμε μια στιγμή που ΕΠΙΛΕΓΟΥΜΕ και όχι απαραίτητα τη στιγμή έναρξης της ταλάντωσης της πηγής. Επίσης όταν δίνεις ξερά ένα τέτοιο διάγραμμα φάσης-θέσης, χωρίς άλλη πληροφορία, μπορεί κάποιος να υποθέσει ότι αναφέρεται σε τμήμα και όχι σε όλο το μήκος του μέσου στο οποίο έχει φθάσει το κύμα. Σε συνδυασμό με την πρώτη υπόθεση, το κύμα έχει φθάσει στο σημείο χ=4m, το οποίο αρχίζει να ταλαντώνεται με φάση 0. Νομίζω ότι όλα αυτά είναι συμβατά με την 1η δυνατή περίπτωση να έχει το κύμα αρχική φάση π. Από την εξίσωση φάσης: φ=2π/Τ - 2πχ/λ +π αντικαθιστώντας βρίσκουμε: Τ=4s,λ=2m.
Αν λοιπόν δεχθούμε ότι την t=0 η πηγή(χ=0) ΑΡΧΙΖΕΙ να ταλαντώνεται προς τα κάτω, τότε την t=6s=1,5T το κύμα φθάνει στο χ=1,5λ=3m, οπότε έχουμε μπροστινό τμήμα στιγμιότυπου με μορφή κοιλάδας.
Αν όμως δεχθούμε ότι την t=0 η πηγή (χ=0)έχει ήδη εκτελέσει μισή ταλάντωση, τότε την t=6s=1,5T το κύμα φθάνει στο χ=1,5λ+0,5λ=2λ=4m, οπότε έχουμε μπροστινό τμήμα στιγμιότυπου με μορφή όρους.
Δηλαδή έχουμε δύο διαφορετικές περιπτώσεις, που αν μας ζήταγαν στιγμιότυπο τι θα σχεδιάζαμε;
Άρα καταλήγουμε σε αυτό που ανέφερε
ο Σταύρος: "Αν δεν ξέρουμε προς τα πού ξεκίνησε να ταλαντώνεται η πηγή (ή κάποιο άλλο υλικό σημείο) θα πρέπει να σχεδιάσουμε 2 στιγμιότυπα, ένα που τελειώνει σε όρος και ένα σε κοιλάδα και φυσικά στις δύο περιπτώσεις το κύμα θα έχει φτάσει σε διαφορετική απόσταση από την αρχή".
Καταλήγοντας πιστεύω ότι: Σε προβλήματα με αρχική φάση, ή πρέπει να δίνεται το στιγμιότυπο ώστε να έχουμε την απαραίτητη πληροφορία, ή πρέπει να γίνεται σαφές προς τα που αρχίζει να ταλαντώνεται το σημείο εκείνο του οποίου την ταλάντωση χρησιμοποιούμε ως εξίσωση αναφοράς.

Σταύρος Πρωτογεράκης είπε...

Γεια σας και πάλι.
Δεύτερη σκέψη: Η αρχική φάση στη συγκεκριμένη άσκηση, αφού την t=0 το υλ. σημείο στο x=0 περνά από τη Θ.Ι. μπορεί να είναι είτε π, είτε 3π (σύμφωνα με το διάγραμμα πρέπει να είναι μικρότερη από 4π). Πράγματι και οι δύο αρχικές φάσεις δίνουν λύση οπότε η εκφώνηση είναι ασαφής. Ο Θοδωρής έχει δίκιο.
Σταύρος

Σταύρος Πρωτογεράκης είπε...

Συμπλήρωση: Με φ0=π είναι Τ=4s και με φ0=3π είναι Τ=12s, συμβατά και τα δύο με το κύμα να φτάνει στο x=3m την t=6s και τα υλικά σημεία να ξεκινούν να ταλαντώνονται προς τα κάτω.
Σταύρος

Asimakopoulos είπε...

Καλημέρα σε όλους και θέλω να σας εκφράσω την εκτιμησή μου για το έργο σας. Να παρατηρήσω και εγώ ότι αφού στο x=3m είναι φ=π και αφού την t=6s ξεκινάει να ταλαντώνεται το σημείο x=3m και επειδή όλα τα σημεία όταν ξεκινούν επαναλαμβάνουν επακριβώς την ταλάντωση του σημείου x=0 η αρχική φάση θα είναι π.
Είναι δηλαδή η περίπτωση που προαναφέρθηκε όπου στο τέλος του στιγμιότυπου έχουμε κοιλάδα διότι η αρχική φάση οφείλεται σε αρνητικό ξεκίνημα ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου.
Εάν η αρχική φάση οφειλόταν σε καθυστέρηση πατήματος του χρονομέτρου σε σχέση με την έναρξη ταλάντωσης του σημείου x=0 τότε στο διάγραμμα φ-x η ευθεία της φθίνουσας συνάρτησης θα άγγιζε τον άξονα των θέσεων.

Asimakopoulos είπε...

Έκανα λάθος. Δεν αποκλείεται από τη γραφική παράσταση φ-x να είναι φ0= 3π. Σε αυτή την περίπτωση τα 2π θα οφείλονται σε χρονοκαθυστέρηση που δεν φαίνεται στο τελείωμα του διαγράμματος φ-x και το τρίτο π σε αρνητικό ξεκίνημα το οποίο είναι αυτό που φαίνεται στο διάγραμμα