Κυριακή, 7 Σεπτεμβρίου 2008

Κύκλος αναφοράς Ταλάντωσης

.
Ένα ερώτημα που τίθεται συχνά από συναδέλφους, είναι το εξής: Μπορεί ένας μαθητής να χρησιμοποιήσει τον κύκλο αναφοράς της ταλάντωσης για να λύσει μια άσκηση Ταλάντωσης ή υποχρεούται να επιλύσει την άσκηση στηριζόμενος σε γνώσεις Τριγωνομετρίας;
Το ερώτημα έχει βάση γιατί πραγματικά στο σχολικό βιβλίο δεν αναφέρεται τίποτα σε σχέση με περιστρεφόμενα διανύσματα και αρμονικά μεταβαλλόμενα μεγέθη. Να μην παρασυρόμαστε από το βιβλίο των δεσμών συνάδελφοι..
Όμως…. Έχω την αίσθηση ότι η μελέτη μιας Ταλάντωσης με την βοήθεια περιστρεφόμενου διανύσματος, είναι πολύ χρήσιμη, στην σύνδεση της κυκλικής κίνησης με την ταλάντωση, αλλά και βοηθάει τον μαθητή να κατανοήσει το πώς και το γιατί μεγέθη που έχει διδαχτεί στην Α΄Τάξη ( και που θα τα ξαναδεί στο κεφάλαιο του στερεού) όπως γωνιακή ταχύτητα ω, γωνία φ, τα ξαναβρίσκει με διαφορετικά ονόματα στις ταλαντώσεις. Τι πράγμα είναι αυτή η γωνιακή συχνότητα (εντάξει είναι ίση με ω=2πf και λοιπόν;) ή τι νόημα έχει η φάση;
Βέβαια στο σχολικό βιβλίο δεν αναφέρεται (κακώς) τίποτα. Νομίζω λοιπόν ότι πρέπει εμείς να το διδάξουμε, να κάνουμε την σύνδεση, αλλά να επισημάνουμε στα παιδιά ότι υποχρεούνται να κάνουν μια πλήρη ανάλυση, αν θέλουν να το γράψουν σε εξετάσεις και να μην χάσουν μόρια (από συναδέλφους με αντίθετη άποψη από αυτήν που εκφράστηκε προηγούμενα).
Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος 0,2m και περίοδο Τ=2s και για t=0 περνά από την θέση Β με x1= - 0,1m κινούμενο προς τη θέση ισορροπίας.

  1. Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο και
  2. Ποια χρονική στιγμή θα φτάσει, για πρώτη φορά, στη θέση Γ με x2= +0,1m;


Ας δούμε και μια ενδεχόμενη απάντηση:
Έστω ότι έχουμε ένα σώμα Σ που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, διαγράφοντας έναν κατακόρυφο κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R=Α. Το σώμα ξεκινά για t=0 από μια θέση όπου η επιβατική ακτίνα σχηματίζει γωνία φ0 με τον άξονα x. Μετά από χρόνο t το σώμα έχει διαγράψει γωνία θ=ωt όπου ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του.
Αν πάρουμε την προβολή στον άξονα y΄y του σώματος Σ, θα πάρουμε το σώμα Σ΄ το οποίο απέχει από το κέντρο Ο του κύκλου απομάκρυνση:
(ΟΣ΄) = x= (ΟΣ) ημ(ωt + φ0) ή
x = Α· ημ(ωt + φ0).
Παρατηρούμε δηλαδή ότι το σημείο Σ΄ εκτελεί α.α.τ στον κατακόρυφο άξονα y΄y γύρω από τη θέση ισορροπίας Ο, με γωνιακή συχνότητα ω (όση και η γωνιακή ταχύτητα ω του σώματος Σ) και αρχική φάση φ0 (όση είναι η αρχική γωνία που σχηματίζει το σώμα Σ με τον οριζόντιο ημιάξονα Οx).
Ας έλθουμε τώρα στο πρόβλημά μας.
Για t=0 το σώμα που εκτελεί α.α.τ περνά από το σημείο Β του σχήματος, οπότε το σώμα που εκτελεί την κυκλική κίνηση βρίσκεται ή στη θέση Β1 ή στη θέση Β2. Με βάση τη φορά περιστροφής και αφού το σώμα κατευθύνεται προς τη θέση ισορροπίας καταλήγουμε ότι η αρχική θέση είναι η Β1. Στο τρίγωνο ΟΒΒ1 η ΟΒ είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας οπότε η γωνία ρ= 30°. Η αρχική φάση σημειώνεται στο σχήμα και είναι:
φ0= 2π-π/6 = 11π/6
Έτσι η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι:
x= Αημ(ωt+φ0) = 0,2 ημ(πt + 11π/6) (μονάδες στο S.Ι.)
Το σώμα που εκτελεί την απλή αρμονική ταλάντωση θα φτάσει για πρώτη φορά στο σημείο Γ, όταν το σώμα που διαγράφει τον κύκλο φτάσει στη θέση Γ1. Αλλά από την Γεωμετρία προκύπτει ότι για τη γωνία θ ισχύει θ=2ρ = π/3.
Αλλά θ=ωt ή
t = θ/ω = (π/3)/ π = 1/3 s.
Βεβαίως η άσκηση θα μπορούσε να λυθεί καθαρά Τριγωνομετρικά. Μπορείτε να δείτε την λύση από ΕΔΩ.
.

6 σχόλια:

physiart είπε...

Πολύ σωστά αντιμετωπίζεις το πρόβλημα αγαπητέ Διονύση. Η μόνη ένστασή μου, η οποία βέβαια δεν αναφέρεται στο δημοσίευμά σου είναι ότι δεν πρέπει να υπάρχουν συνάδελφοι που δεν αποδέχονται την ανάλυση με τον περιστρεφόμενο διάνυσμα. Για μένα (εκφράζοντας πάντοτε την προσωπική μου γνώμη) είναι έγκλημα η αφαίρεση μονάδων από το γραπτό ενός μαθητή που χρησιμοποίησε το περιστρεφόμενο διάνυσμα για να αποδείξει μία αρχική φάση ή να βρει μία χρονική διάρκεια. Είναι σαν να έχουμε ένα μαθητή που έχει βρεί ένα έργο με ολοκλήρωμα και εμείς να του ζητάμε να αποδείξει ότι το ολοκλήρωμα που βρήκε εκφράζει το ζητούμενο έργο!!! Το περιστρεφόμενο διάνυσμα έχει παγιωθεί στην αντίληψη των συναδέλφων και πιστεύω ότι μπορούν οι μαθητές να το χρησιμοποιούν χωρίς απόδειξη.

george είπε...

πώς μπορώ να ξέρω σίγουρα αν χρειάζεται η απόδειξη με το περιστρεφόμενο διάνυσμα;

Αστέριος είπε...

Συμφωνώ με τον συνάδελφο physiart.
Όσον αφορά τώρα στην απόδειξη, μήπως θάπρεπε στο σχήμα, να ονομάσουμε τον κατακόρυφο άξονα χ΄χ (αντί y΄y)έτσι ώστε να υπάρχει αντιστοιχία με την εξίσωση x = Α ημ(ωt + φ0) και τον οριζόντιο y΄y ή τίποτα;

ΔΙΟΝΥΣΗΣ ΜΑΡΓΑΡΗΣ είπε...

Καλή χρονιά σε όλους.
Γιώργο συμφωνώ με την άποψή σου για το έγκλημα. Όμως....
Αφορμή για την δημοσίευση ήταν η ερώτηση που μου έκανε συνάδελφος με email, το καλοκαίρι (που το πήρα λίγο αργά...) και ο οποίος έγραφε ότι σε παρέα συναδέλφων, εκφραζόταν με πάθος ακριβώς η αντίθετη άποψη.
Επειδή λοιπόν δεν ελπίζω ότι μπορώ να αλλάξω την γνώμη πολλών, πρότεινα την παραπάνω λύση, ώστε αφού δεν πείθονται, να αφοπλιστούν...

ΔΙΟΝΥΣΗΣ ΜΑΡΓΑΡΗΣ είπε...

Για τον συνάδελφο Αστέριο, δίκιο έχει.
Αλλά φοβάμαι ότι αν ονομάσουμε τον κατακόρυφο άξονα χ΄χ, πάλι κινδυνεύουμε να μπερδέψουμε τα παιδιά.
Έτσι προτιμώ να τον αφήσουμε όπως έχει και καθώς προχωρά η ύλη (ερχόμενοι στα κύματα) θα συνηθίσουν την απομάκρυνση να την γράφουν και y=Aημωt.

physiart είπε...

Πάντα υπάρχουν και οι εγκληματίες... :-). Φυσικά και ο συνάδελφος καθηγητής θέλει να αισθάνεται ασφαλής και μπορεί να κάνει αυτό που λες Διονύση, απαντώντας και στο φίλο george. Παρόλα αυτά είμαι σίγουρος ότι η συντριπτική πλειοψηφία των συναδέλφων έχουν πειστεί για την αναγκαιότητα του περιστρεφόμενου.