Παρασκευή, 1 Μαΐου 2009

Στάσιμα κύματα πάνω σε χορδή με σταθερά άκρα.

Μια εξαιρετική άσκηση από τον συνάδελφο Μιχάλη Κοκολίνα. Αναφέρεται σε στάσιμο κύμα πάνω σε χορδή και είχε δημοσιευτεί, από τον ίδιο, πριν λίγα χρόνια στην εφημερίδα τα Νέα.
Να τον ευχαριστήσω για την προσφορά του αυτή και να σας αφήσω να την μελετήσετε.
 ------------------------------------
Τεντωμένη χορδή από καουτσούκ έχει μήκος l και τα δύο άκρα της Α και Β στερεωμένα σε ακλόνητα σημεία, ενώ η χορδή διατηρείται οριζόντια.. Στο μέσο της χορδής Ο προκαλούμε απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y = 0,05ημ20πt (S.I.). Τα παραγόμενα κύματα έχουν ταχύτητα διάδοσης στην χορδή υ = 4 m/s. Όταν αποκατασταθεί μόνιμο φαινόμενο στην χορδή, διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν 4 σημεία που παραμένουν ακίνητα, εκτός των Α και Β.
Α.    Να βρείτε το μήκος l της χορδής.
Β.    Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος, αν την χρονική στιγμή t = 0 για το σημείο του μέσου της χορδής, το οποίο θεωρούμε ως αρχή του άξονα x΄x, είναι y = 0 και V > 0.
Γ.    Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος την χρονική στιγμή t=1/40 s.
Δ.    Να βρείτε την εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Μ με x1 = 0,15 m σε συνάρτηση με τον χρόνο.
Ε.    Πόσοι δεσμοί θα δημιουργηθούν στην χορδή αν η συχνότητα της ταλάντωσης της πηγής γίνει 18 Hz;
ΣΤ. Αν η συχνότητα γίνει 25 Ηz θα δημιουργηθούν στάσιμα κύματα στην χορδή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Ζ.  Αντικαθιστούμε την χορδή με άλλη ατσάλινη, ίδιου μήκους l. Θέτουμε το μέσο της χορδής σε ταλάντωση με εξίσωση y = 0,05ημ20πt (S.I.) και παρατηρούμε ότι δημιουργούνται στάσιμα κύματα στην χορδή όπου υπάρχουν συνολικά 8 δεσμοί. Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην ατσάλινη χορδή.
Η.   Να βρείτε τον λόγο των μέγιστων ταχυτήτων ταλάντωσης του σημείου Ο στις δύο παραπάνω χορδές.

.

7 σχόλια:

Thodoris είπε...

Μιχάλη καλησπέρα,
θα συμφωνήσω με το Διονύση ότι η άσκηση που προτείνεις έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον και μάλιστα ως προς τις εξετάσεις.
Θα μου επιτρέψεις όμως κάποιες παρατηρήσεις-αποροίες:

1)Στο ερώτημα (Δ) ζητάς την εξίσωση της ταχύτητας του σημείου Μ. Άρα δεν έχει νόημα να βρίσκεις πρώτα το πλάτος ταλάντωσης του σημείου, το οποίο ορίζεται κατά απόλυτη τιμή. Όπως το λύνεις δεν εξηγείται το αρνητικό πρόσημο. Μάλιστα μπορεί να μπερδέψει, ξεχνώντας ότι χρειάζεται το πρόσημο.
Νομίζω ότι είναι προτιμότερο, αφού ζητάς εξίσωση ταχύτητας, να πάρουμε κατευθείαν τη σχέση: υ=ωΑ'συνωt=20π0,1συν(5π0,15)συν20πt
ή υ=2πσυν(3π/4)συν20πt
από όπου προκύπτει το αρνητικό πρόσημο στο τελικό αποτέλεσμα.

2) Στο ερώτημα (Ε) αναφέρεις μια σχέση που δηλώνει ότι το μήκος της χορδής, πρέπει να είναι περιττό πολλαπλάσιο του λ/2. Η αποροία μου είναι, γιατί περιττό;
Αν δεν κάνω λάθος, αφού έχουμε δεσμούς στα δύο άκρα, αρκεί να ισχύει: l=κ(λ/2), δηλαδή στο μήκος της χορδής να σχηματίζεται ΑΚΕΡΑΙΟΣ αριθμός ατράκτων (ημικυμάτων όπως τα αναφέρεις). Πράγματι για λ=2/9 m, ισχύει: κ=l/(λ/2)=1/(1/9)=9, άρα σχηματίζονται 9 άτρακτοι, οπότε υπάρχουν 10 συνολικά δεσμοί.

3) Στο ερώτημα (ΣΤ) θα πρότεινα, με την ίδια λογική, να βρούμε από τη γνωστή συχνότητα το αντίστοιχο μήκος κύματος λ=4/25 m. Στη συνέχεια να διαιρέσουμε:
l/(λ/2)=1/(4/50)=50/4=12,5 ο οποίος ΔΕΝ είναι ακέραιος, άρα δε σχηματίζεται στάσιμο.

4) Τέλος στο (Η) ερώτημα δεν είναι προφανές ότι στο μέσο (Ο) της 2ης χορδής θα σχηματιστεί πάλι κοιλία.
Προτείνω να αναφέρουμε πως αφού λ=2/7 m, ξεκινώντας από το ένα άκρο-δεσμό και προχωρώντας αρχικά λ/4=1/14 m, που είναι η απόσταση της 1ης κοιλίας και στη συνέχεια ανά λ/2=1/7=2/14 m, θα φτάσουμε στο μέσο, δηλαδή στη θέση 7/14 m. Έτσι επιβεβαιώνουμε πως στο μέσο υπάρχει πάλι κοιλία.

Η άσκηση μου αρέσει γιατί ΔΕΝ ΤΗΝ ΠΝΙΓΕΙΣ στην τριγωνομετρία, όπως συνηθίζουμε πολύ εμείς οι Φυσικοί.
Στοχεύει σε πιο ουσιαστικές έννοιες.
Με εκτίμηση
Θοδωρής Παπασγουρίδης

Μιχάλης Δημητρακόπουλος είπε...

Διαβαζοντας το σχολιο του Thodoris με το οποιο συμφωνω θελω να επισημανω οτι ειναι μεγαλο προβλημα οι σχεσεις που δινουν το πως ταλαντωνεται ενα σημειο και στην συμβολη και στα στασιμα.
Ο μη εξοικειωμενος μαθητης βρισκει απλα ενα 2Α και μετα μπορει να το χρησιμοποιησει στην εξισωση ανενδοιαστα εχοντας πιθανοτητα ναναι σωστος 50%. Ειναι προτιμοτερο να υπολογιζει το πλατος καθε φορα απο τον τυπο.

Ίρις Ιωάννου είπε...

καλημέρα σε όλους, συναδέλφους και μαθητές,

ωραία άσκηση, αγαπητέ Μιχάλη, κλασική νομίζω πάνω στο στάσιμο…
διάβασα τα πετυχημένα σχόλια του Θοδωρή και θα ήθελα πάνω σ΄ αυτά να πω τα εξής:

α. στο Δ ερώτημα συμφωνώ απόλυτα μαζί του…

β. στο Ε θα συμφωνήσω επίσης, με τη μόνη διαφορά πως αφού ζητείται το πλήθος των δεσμών είναι προτιμότερο, νομίζω, να ονομάσουμε κ απευθείας το ζητούμενο πλήθος (συμπεριλαμβανομένων φυσικά και των Α και Β) και όχι το πλήθος π.χ. των σχηματιζομενων ατράκτων ή οτιδήποτε άλλο…
έτσι: αν όλοι οι δεσμοί είναι κ, μεταξύ τους υπάρχουν (κ–1) αποστάσεις λ/2, οπότε, επειδή ξεκινάμε και τελειώνουμε σε δεσμό, το μήκος της χορδής θα είναι L=(κ–1)λ/2, απ΄ όπου κ=10…

γ. όσον αφορά τέλος στο σχόλιο για το Η ερώτημα…
αφού δεν είναι προφανές ότι στο μέσο Ο της 2ης χορδής θα σχηματιστεί κοιλία, δεν θα έπρεπε, με την ίδια λογική, να κάνουμε τον ίδιο έλεγχο, για το τι δηλαδή σχηματίζεται στο Ο, και στο Β ερώτημα; (εκεί ίσως δεν χρειάστηκε γιατί ο Μιχάλης έκανε ένα τυχαίο στιγμιότυπο της χορδής στο ερώτημα Α, στο οποίο φαίνεται ότι το Ο είναι κοιλία)…
νομίζω ότι οι μαθητές πρέπει να μάθουν να παρατηρούν και να συλλογίζονται και όχι μόνο να υπολογίζουν: βλέποντας από την αρχή της άσκησης ότι το πλήθος των σχηματιζομενων δεσμών είναι άρτιο (6 δεσμοί), όπως και στο Ζ ερώτημα είναι πάλι άρτιο (8 δεσμοί), και δεδομένου ότι ξεκινάμε από δεσμό και τελειώνουμε σε δεσμό οπότε ως προς το μέσο της χορδής θα υπάρχει συμμετρία, είναι κατά τη γνώμη μου προφανές ότι στο μέσο θα σχηματίζεται κοιλία με μ δεσμούς δεξιά της και μ αριστερά της, σύνολο 2μ=άρτιο πλήθος δεσμών…

πολύ καλή άσκηση, αγαπητέ Μιχάλη, για επανάληψη…
δεν είναι ώρα για εντυπωσιασμούς και παγίδες…
για το καλό των μαθητών μας…

με εκτίμηση
Ίρις Ιωάννου

michalisk είπε...

Αγαπητοί συνάδλφοι καλημέρα. Σας ευχαριστώ για τα εύστοχα σχόλια, με τα οποία θα συμφωνήσω. Σε όλα τα ερωτήματα της άσκησης έχω θεωρήσει ως δεδομένο ότι στο μέσο Ο δημιουργείται κοιλία. Προφανώς θα πρέπει να το αναφέρω στην εκφώνηση. Για το ερώτημα (Δ), προτίμησα αυτή την λύση γιατί αρκετοί μαθητές δεν έχουν καταλάβει πότε βάζουμε απόλυτη τιμή στον τύπο και πότε όχι. Με εκτίμηση, Μιχάλης Κοκολίνας.

Ανώνυμος είπε...

Για το ερωτημα Γ,το χ δεν θα επρεπε να ειναι μεταξυ [-0,1,+0,1],αφου η ταχυτητα διαδοσης ειναι 4m/s kai o χρονος 1/40ς΄΄ευχαριστω Δημητρης[μαθηματικος]

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Για τον Δημήτρη (Μαθηματικό).
Η εκφώνηση υπονοεί ότι για t=0, έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα κατά μήκος της χορδής και δίνει πληροφορίες για την ταλάντωση του μέσου Ο, στο οποίο θεωρούμε ότι χ=0. Εδώ δεν έχουμε πλέον διάδοση κύματος, αλλά μια μόνιμη ταλάντωση του μέσου, που απλά κάθε σημείο έχει το δικό του πλάτος ταλάντωσης. Το μπέρδεμα βέβαια μπορεί να το δημιουργήσει η αρχική εξίσωση για το κύμα που διαδίδεται κατά μήκος της χορδής, όπου και αυτή έχει t. Θα έλεγα λοιπόν να γράψουμε την αρχική εξίσωση με την μορφή:
y = 0,05ημ20πt΄
ώστε να μην μπερδέψουμε τους χρόνους.
Να τονίσω ξανά. Έχει δημιουργηθεί μόνιμη κατάσταση κατά μήκος όλης της χορδής και κάποια στιγμή, που το μέσον Ο περνά από την θέση ισορροπίας του κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση, παίρνουμε ότι t=0 και θέτουμε και την αρχή του άξονα σε αυτό το σημείο (x=0).

Ανώνυμος είπε...

k.Μαργαρη συμφωνω και ευχαριστω πολυ.Συγχαρητηρια σε σας και σε ολους τους φιλους για το σπουδαιο εργο που κανετε.Δημητρης [μαθηματικος]