Κυριακή, 3 Μαΐου 2009

Σύνθεση ταλαντώσεων και αρμονικό κύμα.

.
Από τον συνάδελφο Στελίου Κωνσταντίνο μια σύνθετη επαναληπτική άσκηση πάνω στην σύνθεση ταλαντώσεων αλλά και στην διάδοση κύματος. Αφού τον ευχαριστήσω και για την προσφορά του αυτή, την δίνω για μελέτη.
-----------------------------
Ένα υλικό σημείο Ο ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, μάζας 2kg, εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια κατακόρυφη διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, οι οποίες περιγράφονται από τις εξισώσεις: 
y1=0,08ημ(ωt + π) και y2=A2ημωt  (S.I.)
Η εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης που προκύπτει δίνεται από τη σχέση: 
y=0,04ημ10πt  (S.I.)
α.    Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης για κάθε μία από τις συνιστώσες ταλαντώσεις.
β.    Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x΄x, ο οποίος ταυτίζεται με το ελαστικό μέσο και έχει ως αρχή το σημείο Ο. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι 20 m/s.
γ.    Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1 =0.4s και να προσδιορίσετε το πλήθος των υλικών σημείων που έχουν την ίδια στιγμή μέγιστη επιτάχυνση και μέγιστη κινητική ενέργεια.
δ.    Να παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση με το χρόνο την απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας ενός υλικού σημείου Κ του μέσου που βρίσκεται στη θέση xκ =6m. Ποια είναι η απομάκρυνσή του τις χρονικές στιγμές  t2= 0.25s  και  t3 =0.35s.
ε.    Να βρεθεί μέτρο της ταχύτητας με την οποία ταλαντώνεται το υλικό σημείο Κ την στιγμή που η δυναμική του ενέργεια είναι τριπλάσια της κινητικής.
στ.   Αν κάποια χρονική στιγμή t η φάση της ταλάντωσης του υλικού σημείου Κ είναι φκ =π rad, ποια είναι η φάση της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου Λ που βρίσκεται στην θέση xΛ =9m.
ζ.     Να βρεθεί την χρονική στιγμή που το υλικό σημείο Λ βρίσκεται στην ακραία θετική απομάκρυνσή του για πρώτη φορά, πόσες φορές έχει περάσει από την θέση ισορροπίας του μετά την t=0, το υλικό σημείο Ο.

.

12 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Μια μικρη διορθωση στην πολυ καλη και περιεκτικη ασκηση..στο ερωτημα ε το αποτελεσμα ειναι ωΑ/2=10π*0,04/2=0,2π m/s και αλλη μια παρατηρηση στην εκφωνηση του ερωτηματος στ. ειναι οτι αφου λεμε τη θεση Χλ=9m σημαινει απο την αρχη Ο και οχι απο το Κ που αναφερεται.

stelk75 είπε...

Εχεις δίκιο και στα δύο.Τελικά όσες φορες και να τα βλέπει κανείς πάντα ξεφεύγει κάτι.Θα γίνει διόρθωση.

Ανώνυμος είπε...

Εχω μια ερωτηση άσχετη με το θέμα αλλά πάνω στα κύματα.
μπορώ να καταλάβω απο την εξίσωση ενός κύματος εάν το κύμα είναι εγκάρσιο ή διαμήκες;
πχ το κύμα ψ=0,001ημ2π(5t-x) (s.i)
ειναι εγκάρσιο ή διαμήκες;
eyxaristo

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Όχι η εξίσωση της απομάκρυνσης δεν μας καθορίζει και την κατεύθυνση ταλάντωσης των σημείων του μέσου.
Συνεπώς δεν ξέρουμε αν το κύμα είναι εγκάρσιο ή διαμήκες

Ανώνυμος είπε...

eyxaristo poly

Μιχάλης Δημητρακόπουλος είπε...

Στο γ΄ερωτημα καλο θα ηταν να φαινεται οτι προκειται για διαφορετικα σημεια. Ενας μαθητης καλιστα θα μπορουσε να παντησει "μηδεν" για το ζητουμενο πληθος σημειων και η απαντηση του να ειναι σωστη ετσι οπως εχει τεθει η ερωτηση

Ανώνυμος είπε...

Καλησπέρα. Εαν κάνουμε την υπόθεση ότι ένα διάμηκες κύμα διαδίδεται μέσα σε μια αέρια στήλη , όπου τα μόρια του αέρα είναι πανομοιότυπα τότε νομίζω ότι το πλάτος της ταλάντωσης δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο απο λ/4.Με αυτό το σκεπτικό μήπως από την εξίσωση της απομάκρυνσης μπορώ να βρώ το είδος του κύματος; Ευχαριστώ.

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Αγαπητέ φίλε ας αφήσουμε τα μόρια του αέρα ήσυχα!!! Δεν κάνουν καμιά ταλάντωση. Μεταβολές της πίεσης έχουμε στο διαμήκες αυτό κύμα, αλλά οι κινήσεις των μορίων είναι άτακτες.

Ανώνυμος είπε...

Για να είμαι ειλικρινής δε κατάλαβα τι εννοείται με το ότι τα μόρια δε κάνουν ταλάντωση.Με την αυστηρή έννοια του όρου θα συμφωνήσω μαζί σας.Το σχόλιο μου για το πλάτος ταλάντωσης αναφερόταν σε μια ιδεατή - θεωρητική αντιμετώπιση του όλου θέματος.Όπως για παράδειγμα το προσεγγίζουν πολλές προσομοιώσεις. Εαν δεν κάνουν ταλάντωση τότε η εξίσωση κατά τη ταπεινή μου άποψη δεν έχει νόημα να χρησιμοποιείται.Αυτό που εννοούσα ήταν το εξής. Με δεδομένο ότι ( θεωρητικά πάντα) το πλάτος δεν μπορεί να υπερβεί το λ/4 σε ένα διάμηκες κύμα τότε θα πρέπει yo<λ/4.¨Κοιτάζοντας λοιπόν τηνεξίσωση του κύματος που μας δίνεται δε θα μπορούσαμε να καταλάβουμε εάν είναι εγκάρσιο ΄διαμήκες; Ευχαριστώ και πάλι

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Αγαπητέ φίλε.
Μέσα σε ένα αέριο μόνο διαμήκη κύματα δημιουργούνται.
Δεν καταλαβαίνω γιατί προσπαθείς να βρεις το είδος του κύματος, με βάση το πλάτος.
Έτσι και αλλιώς διαμήκες είναι.

Ανώνυμος είπε...

Ίσως ο τρόπος με τον οποίο διατύπωσα την ερώτηση μου να ήταν λάθος. θα προσπαθήσω να τη θέσω υπό τη μορφή άσκησης. Εαν μας δοθεί η εξίσωση y=0,4ημ2π(100t-2x) και μας ρωτήσουν εάν το κύμα είναι εγκάρσιο ή διάμηκες τότε εφόσον ( θεωρητικά μιλώντας) σε διάμηκες κύμα yo<λ/4 η πιο πάνω εξίσωση αναφέρεται σε εγκάρσιο μιας και yo=0,4 που είναι μεγαλύτερο από λ/4=0,125. Αυτό ήταν το θέμα που ήθελα να θίξω.Ξέρω ότι η μεταβολή της πίεσης έχει πρακτική αξία απλά το έβαλα προς σχολιασμό εκ μέρους σας.Συγνώμη που σας κούρασα.

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Θα έλεγα αγαπητέ φίλε, να μην προσπαθούμε να βρούμε το είδος του κύματος, αν ξέρουμε μόνο την εξίσωση του κύματος.
Το μοντέλο που περιγράφεις σε επίπεδο προσομοίωσης είναι καλό,συνεπώς και λογικό το συμπέρασμά σου, αλλά απέχει πολύ από την πραγματικότητα.