Σάββατο, 9 Μαΐου 2009

To Θ.Μ.Κ.Ε., η Α.Δ.Μ.Ε και η Α.Δ.Ε. Πότε ισχύουν;

Τελευταίες ημέρες, πριν τις εξετάσεις, οι μαθητές μας πρέπει να ξεκαθαρίσουν τα βασικά. Υπάρχει σε πολλούς ένα μπλέξιμο σχετικά με διατήρηση ενέργειας, ΘΜΚΕ κλπ. Υπήρξε και μια προτροπή από ένα μαθητή, για κάτι ανάλογο. Ελπίζοντας λοιπόν να βοηθήσει έστω και ένα υποψήφιο, δίνω μια σύντομη παρουσίαση του θέματος.


1)  Το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε) ή αλλιώς το θεώρημα έργου-ενέργειας:

α) Εφαρμόζεται για ένα σώμα.
β) Ισχύει ΠΑΝΤΑ, ανεξάρτητα από το είδος των ασκουμένων δυνάμεων.
γ) Το ΘΜΚΕ μπορεί να εφαρμοστεί σε κάθε περίπτωση αλλά ορισμένες φορές δεν μας βοηθά στη λύση ενός προβλήματος, όπως π.χ. στις εξής δύο περιπτώσεις:
     i)  Αν στα δεδομένα ή στα ζητούμενα εμπλέκεται ο χρόνος (αυτό δεν σημαίνει. ότι σε συνδυασμό με άλλες εξισώσεις, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί και το ΘΜΚΕ, αλλά από μόνο του δεν δίνει λύση).
     ii) Αν μελετάμε ένα σύστημα σωμάτων που αλληλεπιδρούν. Αυτό, στην περίπτωση που δεν μπορούμε να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης αλληλεπίδρασης για το ένα σώμα.

Παράδειγμα 1°:
Ένα σώμα Σ μάζας 4kg ηρεμεί σε λείο κεκλιμένο επίπεδο, κλίσεως θ=30°, δεμένο στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=200Ν/m. Σε μια στιγμή ένα δεύτερο σώμα που κινείται προς τα πάνω, συγκρούεται ελαστικά με το σώμα Σ. Αν το σώμα Σ μετακινηθεί κατά 0,2m πριν σταματήσει στιγμιαία, ποια η ταχύτητα του σώματος Σ αμέσως μετά την κρούση;
Δίνεται g=10m/s2.


Και ένα σχόλιο

Παράδειγμα 2°:
Δύο σώματα Σ1, Σ2 με μάζες  m1=2kg και m2=3kg ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=480 Ν/m. Κάποια στιγμή κτυπάμε το Σ1, το οποίο αποκτά αρχική ταχύτητα υ0=10m/s με κατεύθυνση προς το Σ2. Να βρεθεί η ταχύτητα του Σ1, όταν το ελατήριο έχει συσπειρωθεί κατά Δl=0,5m.



2)  Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.)

α) Εφαρμόζεται για ένα σύστημα σωμάτων  και όχι για ένα σώμα.
β) Ισχύει ΜΟΝΟ,  αν οι όλες οι δυνάμεις που παράγουν έργο, είναι συντηρητικές (Διατηρητικές).
  i)  Αν ένα σώμα κινείται στο βαρυτικό πεδίο της Γης, μέλος του συστήματος είναι και η Γη, αλλά συνήθως το «ξεχνάμε», μιας και η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας του συστήματος σώμα-Γη, συνδέεται με την κινητική ενέργεια του σώματος. Έτσι λέμε «η δυναμική ενέργεια του σώματος» πράγμα που ενώ δεν είναι σωστό, ίσως απλοποιεί τα πράγματα και διευκολύνει τους μαθητές.
  ii) Όταν εφαρμόζουμε την ΑΔΜΕ, μπορεί να ασκούνται διάφορες δυνάμεις στο σύστημά μας, που να μην είναι συντηρητικές. Αρκεί οι δυνάμεις αυτές να μην παράγουν έργο.


Παράδειγμα 3°:
Να λυθεί το 1° παράδειγμα  με εφαρμογή της ΑΔΜΕ.


Παράδειγμα 4°:
Να απαντηθεί το 2° παράδειγμα με χρήση της ΑΔΜΕ.


3)  Η αρχή διατήρησης της ενέργειας (Α.Δ.Ε.)

α) Εφαρμόζεται για ένα σύστημα σωμάτων που μπορεί να είναι και το ΣΥΜΠΑΝ όλο.
β) Ισχύει ΠΑΝΤΑ.

Σχόλιο:
Στην πραγματικότητα τα πράγματα έχουν ακριβώς την αντίθετη σειρά. Η ΑΔΕ είναι μια γενική αρχή διατήρησης, που ισχύει σε όλες τις Φυσικές επιστήμες, χωρίς καμιά εξαίρεση, αν και σύμφωνα με την σύγχρονη Φυσική επεκτείνεται ώστε να συμπεριλάβει και την ύλη, έτσι ώστε σήμερα να μιλάμε για διατήρηση της υλοενέργειας.
Η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας, είναι μια υποπερίπτωση της ΑΔΕ, όταν έχουμε μόνο συντηρητικές δυνάμεις, ενώ το Θ,Μ.Κ.Ε. είναι αυτό που λέει το όνομά του.
Ένα θεώρημα, που εφαρμόζεται για ένα σώμα και συνδέει τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται πάνω του με την μεταβολή της κινητικής του ενέργειας.

Παράδειγμα 5°:
Πάνω σε ένα μη λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας τροχός μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=0,6m. Σε μια στιγμή δέχεται στο κέντρο του μια σταθερή οριζόντια δύναμη F μέτρου 100Ν, όπως στο σχήμα. Όταν ο τροχός έχει περιστραφεί κατά γωνία θ=15rad, το κέντρο Ο του τροχού, έχει μετατοπισθεί κατά x=18m.

i)   Πόση ενέργεια μετεφέρθη στον τροχό, μέσω της δύναμης F;
ii)  Πόση θερμότητα παρήχθη εξαιτίας της τριβής;
Για τον τροχό δίνεται Ι= ½ ΜR2.


Υ.Γ.
Δηλαδή ποτέ δεν εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε. αν έχουμε ένα σύστημα σωμάτων;
Δεν είπα αυτό. Λέω απλά ότι, συνήθως έχουμε πρόβλημα να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης αλληλεπίδρασης. Αν μπορούμε να το υπολογίσουμε, δεν υπάρχει πρόβλημα, πολύ δε περισσότερο αν μας ζητάνε το έργο. Τότε ναι, εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε. Να τονίσω στο σημείο αυτό ότι τα έργα των εσωτερικών δυνάμεων δεν είναι πάντα αντίθετα. Οι δυνάμεις είναι αντίθετες, όχι τα έργα τους.

Παράδειγμα 6°:
Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί σώμα Σ μάζας Μ=9kg. Σε μια στιγμή ένα βλήμα μάζας m=1kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ0=100m/s, σφηνώνεται στο σώμα Σ.
 
α)  Να υπολογιστούν τα έργα:
i) Της δύναμης που ασκήθηκε στο σώμα Σ από το βλήμα.
ii) Της αντίδρασής της, που ασκήθηκε στο βλήμα.
β)  Να υπολογισθεί η απώλεια μηχανικής ενέργειας στη διάρκεια της κρούσης. Πώς συνδέεται αυτή με τα έργα των παραπάνω δυνάμεων;


Για μια αναλυτικότερη μελέτη, δείτε μια προσφορά του συναδέλφου Σταύρου Πρωτογεράκη από ΕΔΩ. Σε ευχαριστώ Σταύρο για την προσφορά.
.

13 σχόλια:

Νίκος Ανδρεάδης είπε...

Θέλω να τονίσω ότι οι μαθητές επηρεασμένοι από την αρχή διατήρησης της ορμής εφαρμόζουν το Θ.Μ.Κ.Ε. σε σύστημα σωμάτων χωρίς να λαμβάνουν υπόψη τα έργα των εσωτερικών δυνάμεων, διότι θεωρούν ότι είναι αντίθετα, κάτι που δεν ισχύει πάντοτε, διότι ναι μεν οι εσωτερικές δυνάμεις εμφανίζονται ως ζεύγη αντιθέτων δυνάμεων, όμως τα σημεία εφαρμογής τους πιθανόν να έχουν διαφορετικές μετατοπίσεις.

Φυσικά στη περίπτωση που τα εσωτερικά έργα είναι αντίθετα και άγνωστα η εφαρμογή του Θ.Μ.Κ.Ε. για το σύστημα μας διευκολύνει διότι τα "ξεφορτωνόμαστε".

Διονύση για μια ακόμα φορά συγχαρητήρια.

george είπε...

Ευχαριστούμε για την ανάρτηση..ξεκαθαρίζει τα πράγματα εύκολα και σύντομα..
Μία ερώτηση..πότε μπορούμε να εφαρμόσουμε ΘΜΚΕ για σύστημα σωμάτων;
Ευχαριστώ
Κοσμίδης Γιώργος

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Θα έλεγα ΠΟΤΕ!!!
Αλλά για να μην είμαι απόλυτος, μπορούμε να εφαρμόσουμε το ΘΜΚΕ για κάθε σώμα ξεχωριστά. Τώρα αν το σύστημα των εξισώσεων που θα προκύψει θα μας εξυπηρετεί, είναι άλλο θέμα.
Θα πρότεινα: Αν έχεις σύστημα σωμάτων (με κάποια αλληλεπίδραση μεταξύ τους) ας αφήσουμε το ΘΜΚΕ στην άκρη....

Ανώνυμος είπε...

μου εξηγείται σας παρακαλώ κάτι που δεν κατάλαβα;
οι παραπάνω δυνάμεις είναι ίσες κατά μέτρο αλλά τα έργα διαφορετικά.αυτό σημαίνει ότι οι μετατοπίσεις τους διαφορετικές. τότε πρέπει να θεωρήσουμε σημαντική την οριζόντια διάσταση του δεύτερου σώματος και ίσως συγκρίσιμη με την μετατόπιση.έτσι αποκλείεται να μιλάμε για υλικά σημεία.
κάνω κάπου λάθος συλλογισμό;

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Στην ανελαστική κρούση οι μετατοπίσεις των δύο σωμάτων στη διάρκεια της κρούσεις είναι διαφορετικές και το βλήματος είναι πολύ μεγαλύτερη από την μετατόπιση του ακίνητου σώματος.
Αλλά τι σημαίνει υλικό σημείο;
Ένα σώμα που δεν έχει διαστάσεις;
Όχι.
Υλικό σημείο εννοούμε ένα σώμα, που για το πρόβλημα που μελετάμε, δεν μας ενδιαφέρουν οι διαστάσεις του και το αντιμετωπίζουμε σαν να είναι ένα γεωμετρικό σημείο με μάζα.
π.χ. Όταν μελετάμε την κίνηση ενός τραίνου και γράφουμε εξισώσεις για την μετατόπιση ή για την ταχύτητα πώς το αντιμετωπίζουμε; Σαν υλικό σημείο...

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Για τον Αντώνη Βουζίκη και το σχόλιό του σε pdf για το 1ο παράδειγμα.
Προφανώς η λύση που προτείνεις με εφαρμογή της διατήρησης της ενέργειας στην ταλάντωση, είναι περισσότερο εύκολη και πιο κοντά στους μαθητές.
Αλλά...
Στόχος της παρούσας ανάρτησης και των παραδειγμάτων που παρέθεσα, ήταν να ξεδιαλύνουν οι μαθητές, τις διαφορές μεταξύ του ΘΜΚΕ και της ΑΔΜΕ και να μπορούν να επιλέξουν μεταξύ των δύο, το τι θα χρησιμοποιήσουν στην επίλυση κάποιου προβλήματος.

Ανώνυμος είπε...

Ας δούμε και μερικές διατυπώσεις των σχολικών βιβλίων σχετικά με την έννοια υλικό σημείο.

- Φυσική Β΄ Γυμνασίου σελίδα 24: … Ένα σώμα, ενώ έχει μάζα, μπορούμε να το θεωρήσουμε ως υλικό σημείο αν οι διαστάσεις του είναι πολύ μικρότερες από τις άλλες διαστάσεις που χρησιμοποιούμε για την περιγραφή του φαινομένου.

- Φυσική Α΄ Λυκείου σελίδα 36: Σωμάτιο ή σημειακό αντικείμενο είναι η αναπαράσταση (μοντέλο) ενός αντικειμένου με ένα σημείο.

- Φυσική Γ΄ λυκείου κατεύθυνσης σελίδα 108: … Το υλικό σημείο ορίζεται ως το σώμα που έχει όλες τις άλλες ιδιότητες της ύλης εκτός από διαστάσεις.

Αστέριος

Γκότσης Θανάσης είπε...

Ένα σχόλιο στο σχόλιο της λύσης του παραδείγματος 5. Μια δύναμη σταθερή είναι και συντηρητική. Το έργο της είναι μηδέν σε κλειστή διαδρομή και ανεξάρτητο της διαδρομής. Μάλλον είχατε στο μυαλό σας οτι δεν μπορεί ο μαθητής να συσχετίσει το έργο της με δυναμική ενέργεια.

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Για τον Θανάση Γκότση.
Δίκιο έχετε για την δύναμη F οτι είναι συντηρητική, αλλά επειδή δεν σχετίζεται με δυναμική ενέργεια το έγραψα θέλοντας να τους αποτρέψω από ΑΔΜΕ.
Υπάρχει το εξής πρόβλημα:
Λέμε στους μαθητές να εφαρμόζουν την ΑΔΜΕ όταν στο σύστημα ασκούνται συντηρητικές δυνάμεις.
Ενώ λοιπόν ασκείται και μια τέτοια δύναμη F που προσφέρει ενέργεια στο σύστημα ή στο σώμα αυτοί εφαρμόζουν ΑΔΜΕ. Αυτό ήθελα να αποφύγω.
Και ήρθαν οι εξετάσεις να το επιβεβαιώσουν για μια ακόμη φορά.
Παιδιά που μπερδεύτηκαν στο 4β, πήγαν να λύσουν το 4γ και για να βρουν την γωνιακή ταχύτητα εφάρμοζαν την ΑΔΜΕ.

Ανώνυμος είπε...

Εχω μια ασκηση που με προβληματισε.μου δινεται τροχολια και μεσω αβαρους νηματος κρεμεται ενα σωμα,που το αφηνουμε ελευθερο ετσι ωστε να αρχισει να εκτελει ομαλα επιταχυνομενη κινηση και η τροχολια να επιταχυνεται στροφικα.μονο η ταση του νηματοσ δημιουργει ροπη ως προς αξονα που περνα απο το κεντρο και ειναι καθετος σε αυτο.μπορω να εφαρμοσω θμκε για την τροχολια

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Ναι μπορούμε.

Nikos M είπε...

στο ατομο που περιστρεφεται στον παγο και μαζευει τα πρωην εκτεταμενα χερια του, γιατι ισχυει η διατηρηση της στροφορμης αλλα οχι της διατηρησης της περιστροφικης ενεργειας;

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Γιατί Νίκο απαιτείται ενέργεια για να μαζέψει τα χέρια του! Το μάζεμα δεν γίνεται ανέξοδα! Απλά το παραγόμενο έργο από τους μυς των χεριών, δεν μπορούμε άμεσα να το υπολογίσουμε και ...μας διαφεύγει!