Παρασκευή, 8 Μαΐου 2009

Διατήρηση ορμής και στροφορμής σε μια κρούση.

Ξανά η πλαστική κρούση σφαίρας με ράβδο και οι αρχές διατήρησης που ισχύουν. Μια άσκηση από τον φίλο και συνάδελφο Θοδωρή Παπασγουρίδη, τον οποίο ευχαριστώ και από την θέση αυτή.
.
Ράβδος μήκους L και μάζας M μπορεί να στρέφεται ελεύθερα σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από ένα στήριγμα που βρίσκεται στο πάνω άκρο της Α. Ένα βλήμα μάζας m με ταχύτητα υ, χτυπάει τη ράβδο σε απόσταση d από το άκρο Α και σφηνώνεται σε αυτή. Αν το κέντρο μάζας του συστήματος ράβδος-βλήμα μετά την κρούση βρίσκεται σε απόσταση  :
από το άκρο Α, να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις:
i)   Το σύστημα ράβδος-βλήμα μετά την κρούση στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από το στήριγμα που βρίσκεται στο άκρο Α με αρχική γωνιακή ταχύτητα:

ii)  Η ορμή του συστήματος ράβδος-βλήμα αμέσως  μετά την κρούση δίνεται από τη σχέση:  
p=(md+ ½ ΜL)·ω,
     όπου ω η γωνιακή ταχύτητα του  συστήματος ράβδος-βλήμα, αμέσως μετά την κρούση.
iii) Η ορμή του συστήματος ράβδος-βλήμα είναι αδύνατο να διατηρείται κατά την κρούση.
iv) Η απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση είναι ίση με:

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της και είναι κάθετος σε αυτή:  Ιcm= ML2/12.

 .

8 σχόλια:

Νίκος Ανδρεάδης είπε...

Θοδωρή καλησπέρα με κάποιες παρατηρήσεις.

1. Αντί "μπορεί να στρέφεται ελεύθερα σε κατακόρυφο επίπεδο" θα προτιμούσα "μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα"

2. Στο 3 θα προτιμούσα "Η ορμή του συστήματος ράβδος-βλήμα είναι αδύνατο να διατηρείται κατά την κρούση διότι ασκείται εξωτερική δύναμη από τον άξονα"

Επίσης και στη περίπτωση που ξεκολλήσει, πάλι η ορμή δεν διατηρείται διότι έχουμε εξωτερική δύναμη από τον άξονα στο πολύ μικρό χρόνο που διαρκεί η αποκόλληση.

Αν η ράβδος ήταν "ελεύθερη " πάνω σε πάγο τότε θα είχαμε διατήρηση ορμής.

Thodoris είπε...

Νίκο καλησπέρα και σε σένα,
μάλλον ήρθε η ώρα να διαφωνήσουμε.
Εκτιμώ απεριόριστα τον ακριβή τρόπο διατύπωσης των θεμάτων φυσικής εκ μέρους σου ( σε σχόλιό μου σε αναφέρω ως "πατέρα" της αυστηρής διατύπωσης) αλλά στο συγκεκριμένο σε βρίσκω λίγο υπερβολικό...
Επίσης αν καταλαβαίνω καλά, θεωρείς ότι στο 3ο ερώτημα η απάντηση που δίνω είναι λάθος. Πάλι θα διαφωνήσω. Μετά από ανάλυση του Διονύση σε ερώτησή μου, γιατί ΔΕΝ διατηρείται η ορμή σε κρούση αμελητέας διάρκειας όταν η ράβδος μπορεί να στρέφεται γύρω από άξονα, προσπάθησα να βρω περίπτωση όπου είναι δυνατό να διατηρείται η ορμή σε κρούση υλικού σημείου-ράβδου, διαφορετική από την περίπτωση που η ράβδος μπορεί σε οριζόντιο επίπεδο να εκτελέσει σύνθετη κίνηση. Βρήκα λοιπόν την άσκηση 10.22 (σελίδα 357, ALONSO-FINN, δεύτερη έκδοση)όπου διαπραγματεύεται λίγο-πολύ τα ερωτήματα που έχω προσαρμόσει σε σωστό-λάθος. Στο ερώτημα λοιπόν, κάτω από ποιες συνθήκες η ορμή διατηρείται, αναφέρει στις σύντομες απαντήσεις που περιέχει στο τέλος: "Linear momentum can be conserved only if rod is unpinned from pivot". Θεωρώ ότι αφού η ράβδος στρέφεται γύρω από στήριγμα, είναι δυνατό κατά την κρούση να ξεκολλήσειδηλαδή να αποχωρισθεί, χωρίς να δεχθεί την άπειρα μεγάλη δύναμη που δέχεται από τον ακλόνητο άξονα στην απειροστά μικρή διάρκεια της κρούσης, η οποία είναι υπεύθυνη για τη μη διατήρηση της ορμής.
Αυτό αποτελεί και τη νέα πληροφορία της ανάρτησης, μαζί με το ερώτημα για την ορμή του συστήματος στην περιστροφική κίνηση. Τα περί διατήρησης στροφορμής και θερμότητας έχουν αναφερθεί και σε άλλες παρόμοιες αναρτήσεις.
Ελπίζω να είσαι καλά, γιατί για ένα διάστημα σε είχαμε χάσει.
Θοδωρής Παπασγουρίδης

Σταύρος Πρωτογεράκης είπε...

Καλημέρα Θοδωρή.
Εφόσον δίνεται η δυνατότητα που αναφέρεις στην απάντηση του ερωτήματος 3 (να ξεκολλήσει χωρίς να ασκηθεί μεγάλη εξωτερική δύναμη) δεν θα έπρεπε να εξετάζεις ΚΑΙ αυτή την περίπτωση στις απαντήσεις των ερωτημάτων ii και iv ;
Σταύρος Πρωτογεράκης

Νίκος Ανδρεάδης είπε...

Καλημέρα Θοδωρή και Σταύρο, αν δεν διαφωνούσαμε λίγο θα υπήρχε πλήξη.

Για την αυστηρή διατύπωση να υπενθυμίσω τη σωστή παρατήρηση συναδέλφου ότι δεν πρέπει να λέμε για ένα σώμα "το βάρος του" αλλά απλά "το βάρος". Άρα έχω πολύ δρόμο ακόμα...

Για τη διατήρηση της ορμής θα πρέπει στην απάντηση να αναφέρουμε ότι ισχύει προσεγγιστικά στην περίπτωση που η δύναμη από το στήριγμα θεωρηθεί αμελητέα.

Στο 3 γράφεις "και η ράβδος είναι ελεύθερη να εκτελέσει μεταφορική κίνηση."
Μήπως εννοείς "και το σύστημα ράβδος-βλήμα είναι ελεύθερο να εκτελέσει σύνθετη κίνηση.

ΥΓ.
Περιμένω την επόμενη πρωτότυπη αναρτήση για να διαφωνήσουμε ευχάριστα και ωφέλιμα, τώρα είναι ώρα για θάλασσα (smile!!!)

Ανώνυμος είπε...

Η ορμή μετά την κρούση είναι
P(μετά) = mυ1+Μυc(ράβδου) ή P(μετά)=mωd+MωL/2= (md+ML/2)ω
Επομένως αν δεν κάνω κάποιο λάθος τότε δεν χρειάζεται η θέση του κέντρου μάζας του συστήματος.

Βαγγέλης είπε...

Μια "απορία" έστω και ετεροχρονισμένα, στην ανάρτιση του κυρίου Παπασγουρίδη για την ηλεκτρική ταλάντωση-σύνθετη άσκηση. Στο Γ ερώτημα βρίσκουμε από την εξίσωση του φορίου q2=f(t)του L-C2, ότι το φορτίο αυτού του πυκνωτή αυξάνεται με τον πάνω οπλισμό όπως λέτε θετικά φορτισμένο άρα ο πυκνωτής είναι σε φάση φόρτισης. Το ρεύμα όμως που τη φορά του τη θεωρούμε θετική την ίδια χρονική στιγμή λόγω αυτεπαγωγής κατευθύνεται προς τον κάτω οπλισμό με φορτίο -q. Άρα ο πυκνωτής εκφορτίζεται. Οδηγούμαστε σε αντίφαση. Παρακαλώ απαντήστε μου αν κάνω λάθος. Ευχαριστώ! Βαγγέλης.

Thodoris είπε...

Καλησπέρα σε όλους τους καλούς και τυχερούς (ως προς τον τόπο διαμονής τους) συναδέλφους.

1) Ας ξεκινήσω με τον Βαγγέλη:
Νομίζω ότι κάνεις λάθος στη φορά του ρεύματος. Τη χρονική στιγμή
t=0,0175π sec δηλαδή τη στιγμή t=7T/8 το φορτίο q(1) είναι θετικό και το ρεύμα επίσης θετικό με τις τιμές που αναφέρω στην ανάρτηση. Αυτό σημαίνει ότι ο πυκνωτής φορτίζεται (το καταλαβαίνεις εύκολα από την αντίστοιχη γραφική παράσταση) και το ρεύμα έχει αντίθετη φορά της αρχικής (που ήταν από το πάνω άκρο του πηνίου στο κάτω) δηλαδή έχει φορά από το κάτω άκρο προς το πάνω. Άρα η πολικότητα της Ε(αυτ) είναι + στο πάνω άκρο και - στο κάτω. Την ίδια στιγμή E(αυτ)=V(c)=q(1)/C(1)=50ρίζα(2)Volt
Μόλις ανοίξει ο δ(1) και κλείσει ο δ(2) το πηνίο συνδέεται με τον πυκνωτή C(2) που έχει θετικό φορτίο στον πάνω οπλισμό, δηλαδή τείνει να δώσει ρεύμα αντίθετης φοράς από την Ε(αυτ). Όμως η τάση του είναι V(2)=q(2)/C(2)=25ρίζα(2)Volt. Άρα η Ε(αυτ) είναι μεγαλύτερη από την τάση του πυκνωτή και η φορά του ρεύματος συνεχίζει όπως πρίν, δηλαδή από το κάτω άκρο προς το πάνω, οπότε φορτίζεται ο πυκνωτής.
Νομίζω Βαγγέλη, ότι δεν υπάρχει κάποιο πρόβλημα και ελπίζω όπως το γράφω στο σχόλιο να είναι κατανοητό.

2)Προς τον ανώνυμο φίλο:
Πράγματι έχεις δίκιο, η ορμή του συστήματος ράβδος-βλήμα είναι το διανυσματικό άθροισμα των ορμών των σωμάτων του συστήματος. Οπότε υπολογίζεται απλούστερα χωρίς να χρειάζεται η θέση του κέντρου μάζας. Έτσι γίνεται ακόμα πιο προσιτό στους μαθητές. Τη θέση του Κ.Μ την έδωσα επηρεασμένος από τη σχετική κουβέντα σε προηγούμενη ανάρτηση, προφανώς δεν είχα σκεφθεί τη λύση που προτείνεις.
Σε ευχαριστώ.

3)Προς το Σταύρο:
Μάλλον θα έπρεπε το 3ο ερώτημα να είναι 4ο και αντίστροφα. Η άσκηση αναφέρεται σε πλαστική κρούση βλήματος-ράβδου, όταν είναι δυνατή η περιστροφή γύρω από άξονα που διέρχεται από το άκρο. Το ερώτημα για τη δυνατότητα διατήρησης της ορμής όπως το διατυπώνω, ουσιαστικά ενισχύει το γεγονός ότι είναι αδύνατον να διατηρηθεί εφόσον στρέφεται γύρω από το άκρο και δέχεται δύναμη από το στήριγμα, που είναι η τοποθέτηση του Διονύση. Για να διατηρηθεί, πρέπει να γίνει κάτι που αλλάζει τα δεδομένα, δηλαδή να ξεκολλήσει από το στήριγμα ακαριαία. Αυτό ήθελα να τονίσω και τίποτα περισσότερο.
Επίσης Σταύρο, να σε συγχαρώ για την εξαιρετική ανάρτηση "τετραγωνική πλάκα" με την προσθήκη της μεταβλητής δύναμης, όπως και για την τοποθέτησή σου στις συνεχείς τιμές του πλάτους στην φθίνουσα ταλάντωση:"να ερμηνεύσουμε το Α ως το πλάτος της αμείωτης ταλάντωσης που ΘΑ έκανε ο ταλαντωτής αν τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή καταργούσαμε τη δύναμη απόσβεσης". Λύνει πολλά προβλήματα ερμηνείας.

4) Για το Νίκο:
Τελικά πάλι βρήκες κάτι που όντως μπορεί να διατυπωθεί σωστότερα: "το σύστημα ράβδος-βλήμα είναι ελεύθερο να εκτελέσει σύνθετη κίνηση". Έχεις δίκιο, μόνο που στο μυαλό μου είχε πρωτεραιότητα να ξεκαθαριστεί, ότι σε ακραίες και ειδικές συνθήκες είναι δυνατή η διατήρηση της ορμής.

Εύχομαι τα φετινά θέματα να έχουν κάτι διαφορετικό....

Βαγγέλης είπε...

Κύρι Παπασγουρίδη γίνατε απόλυτα κατανοητός.Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.