Τι διδάσκουμε στους μαθητές μας; Μια άλλη άποψη.

Από τον Ανδρέα Ιωάννου Κασσέτα πήρα ένα κείμενο - απάντηση, στο ερώτημα που θέτει η προηγούμενη ανάρτηση και που δημιουργήθηκε με αφορμή το 4° θέμα των εξετάσεων. Μελετήστε την. 

Ένα  πρόβλημα βαθμολόγησης

για το θέμα  4 στη Φυσική Κατεύθυνσης.

Ορισμένοι από τους εξεταζόμενους – όχι λίγοι – υπολόγισαν τη ζητούμενη τιμή της επιτάχυνσης με εφαρμογή του δεύτερου νόμου για τη στροφική κίνηση στο ΣΥΣΤΗΜΑ «στερεό Π, νήματα και σώμα Σ» . 

Σημειώνουμε τις εξωτερικές δυνάμεις . Είναι η F, η βάρος mg του Σ, η βάρος του Π  και δυνάμεις στήριξης ασκούμενες στον άξονα.        Η ολική ροπή F.2R - mgR  οπότε

 F.2R -  mgR = (ΜR² +mR²)α_γων     

 και α =  α_γωνR   οπότε και   

α = (2F – mg)/(Μ+m)   α = 1 m/s² .

Μπορούμε να το θεωρήσουμε σωστό ;

  

Η άποψή μου είναι ότι η σχέση τ = (ΜR² +mR²)α_γων    είναι σωστή και ότι υπάρχει τρόπος να αποδειχθεί η ορθότητά της με εφαρμογή του δεύτερου νόμου για τη στροφική κίνηση

στο  ΣΥΣΤΗΜΑ «στερεό Π, νήματα και σώμα Σ» .

Βέβαια σημασία δεν έχει το ότι είναι σωστή αλλά το «πώς καταλήγει κανείς στην ορθότητά της» .

Το ταξίδι είναι εκείνο που έχει σημασία και όχι η Ιθάκη.

Δημιουργήθηκαν διαφωνίες μεταξύ συναδέλφων βαθμολογητών σε πολλά εξεταστικά κέντρα. 

Γεννήθηκαν ερωτήματα βάσιμα τα οποία πρέπει να απαντηθούν.

1. Μπορεί το κινούμενο ευθύγραμμα υλικό σημείο να έχει γωνιακή επιτάχυνση ; μπορεί να έχει στροφορμή ;

2. Τι θα γίνει με τη ροπή αδράνειας του Σ η τιμή της οποίας είναι χρονικά μεταβαλλόμενη ;

3. Πώς θα εφαρμόσουμε τον νόμο για τη στροφική κίνηση σε ένα σύστημα ένα μέρος του οποίου εκτελεί στροφική κίνηση και ένα άλλο –  υλικό σημείο μάζας m – κινείται ευθύγραμμα ; 

Εκτιμούμε πάντως ότι οι διαφωνίες είναι δικαιολογημένες δεδομένου ότι :

α.  Στη διατύπωση υπονοείται ότι το σώμα Σ είναι υλικό σημείο αλλά δεν αναφέρεται ρητά μόλο που είναι υλικό σημείο

β. Στο πρόγραμμα σπουδών και στο σχολικό βιβλίο οι έννοιες «στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα υλικού σημείου», «στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση υλικού σημείου» και «στροφορμή υλικού σημείου» ορίζονται ανεπαρκώς και μόνο για κυκλική κίνηση.

γ. Πουθενά δεν δια φαίνεται ότι σε ένα σύστημα αναφοράς,  οι τρεις αυτές έννοιες/διανυσματικά μεγέθη  ορίζονται  αναφορικά με ένα γεωμετρικό σημείο – αρχή των αξόνων Ο – και ανεξάρτητα από το είδος της κίνησης. Βέβαια αποκτούν ιδιαίτερη σημασία σε φαινόμενα όπως η  «κυκλική κίνηση»  και ακόμα μεγαλύτερο καθεμιά από αυτές ως γωνιακή ταχύτητα στρεφόμενου στερεού, γωνιακή επιτάχυνση στρεφόμενου στερεού και στροφορμή στρεφόμενου στερεού.

δ. Είναι αδύνατον  διαβάζοντας κανείς το σχολικό βιβλίο  να δώσει μια απάντηση στο «γιατί ο δεύτερος νόμος με τη μορφή τ = dL/dt  αποτελεί τη γενικότερη διατύπωση του τ = Ια_γων ;». Δεν υπάρχει ούτε ένα παράδειγμα που να δείχνει ότι σε αυτή την περίπτωση ισχύει ο γενικότερος και δεν ισχύει ο  τ = Ια_γων  .

Θα επιχειρήσουμε κάποιες απαντήσεις στα ερωτήματα

1. Μπορεί το κινούμενο ευθύγραμμα υλικό σημείο να έχει γωνιακή επιτάχυνση ; Μπορεί να έχει στροφορμή;

Στο ερώτημα « μα πώς μπορεί - σε ένα ορισμένο σύστημα αναφοράς-  ένα κινούμενο ευθύγραμμα υλικό σημείο να έχει στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ως προς  Ο ;» η απάντηση βρίσκεται στον ορισμό της έννοιας «γωνιακή ταχύτητα».

Η γωνιακή ταχύτητα υλικού σημείου – όπως και η χρονική παράγωγός της γωνιακή επιτάχυνση - δεν ορίζονται για ορισμένο είδος κίνησης αλλά παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον όταν η κίνηση είναι κυκλική. Αν ένα υλικό σημείο έχει ταχύτητα ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς έχει και γωνιακή ταχύτητα ως προς κάποιο Ο – αρχή των αξόνων. Αν το διάνυσμα θέσης σε κάποια χρονική στιγμή είναι r  και η στιγμιαία ταχύτητα υ , η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ορίζεται από το εξωτερικό γινόμενο

υ = ω x r , όπου τα  υ, ω, r  είναι διανύσματα.

Το ίδιο ισχύει και για τη «στιγμιαία στροφορμή υλικού σημείου ως προς Ο». Ορίζεται – σε κάποιο σύστημα αναφοράς - ως εξωτερικό γινόμενο «θέση x ορμή»  ανεξάρτητα από το είδος της κίνησης του υλικού σημείου. Παρουσιάζει βέβαια ιδιαίτερο ενδιαφέρον ως στροφορμή υλικού σημείου σε κυκλική κίνηση και ως στροφορμή στρεφομένου στερεού. 

Στο ερώτημα « σε τι μας χρειάζεται η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση ενός υλικού σημείου κινουμένου ευθύγραμμα ;» η απάντηση είναι ότι σε πολύ λίγες περιπτώσεις μας χρειάζεται αλλά έστω και σε αυτές μας χρειάζεται .

Ας φανταστούμε έναν κυλιόμενο δίσκο σε οριζόντιο έδαφος με το κέντρο μάζας κινείται ευθύγραμμα και με επιτάχυνση . Η κίνηση του τροχού μπορεί να θεωρηθεί «στροφική περί ΣΤΙΓΜΙΑΙΟ άξονα  διερχόμενο από το σημείο στήριξης Α». Σε αυτή τη θεώρηση το κέντρο μάζας έχει στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα και στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση. Αυτό θα πει ότι ενώ το κέντρο μάζας κινείται ευθύγραμμα,  υπό ορισμένη θεώρηση,  έχει στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση  ως προς κάποιο σημείο. 

Ένα παράδειγμα . Ένας κυλιόμενος δίσκος σε οριζόντιο έδαφος με το κέντρο μάζας να κινείται ευθύγραμμα και με επιτάχυνση . Η κίνηση του τροχού μπορεί να θεωρηθεί «στροφική περί ΣΤΙΓΜΙΑΙΟ άξονα  διερχόμενο από το σημείο στήριξης Α». Σε αυτή τη θεώρηση το κέντρο μάζας έχει στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα και στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση. Αυτό θα πει ότι ενώ το κέντρο μάζας κινείται ευθύγραμμα,  υπό ορισμένη θεώρηση,  έχει στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση  ως προς κάποιο σημείο. 

Ένα ακόμα παράδειγμα. Η ομογενής σκάλα ΓΔ αφήνεται και ολισθαίνει χωρίς τριβή όπως στο σχήμα.

Η κίνησή της μπορεί να θεωρηθεί στροφική περί στιγμιαίο άξονα Ο. 

Το άκρο Δ,  μολονότι κινείται ευθύγραμμα, έχει στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ως προς Ο.

Το ίδιο συμβαίνει και με το άκρο Γ.

Στην περίπτωση βέβαια του κινούμενου ευθύγραμμα υλικού σημείου Σ το οποίο έχει σε κάθε στιγμή μια γωνιακή ταχύτητα ω_Σ    ως προς Ο αν θελήσουμε να συσχετίσουμε την ω_Σ με την ως προς Ο στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα του τροχού ω θα έχουμε.   Στροφορμή ως προς Ο.   mυR = mx²ω_Σ  -  x η απόσταση του Σ από το Ο – άρα    υR = x²ω_Σ  και επειδή υ = ωR                 ωR² = ω_Σx²  .        ω_Σ  = ωR² /x²  .  

2. Τι θα γίνει με τη ροπή αδράνειας του Σ η τιμή της οποίας είναι χρονικά μεταβαλλόμενη ;

3. Πώς θα εφαρμόσουμε τον νόμο για τη στροφική κίνηση σε ένα σύστημα ένα μέρος του οποίου εκτελεί στροφική κίνηση και ένα άλλο –  υλικό σημείο μάζας m – κινείται ευθύγραμμα ; 

Στο σημείο αυτό βρίσκεται και η απάντηση στο ερώτημα  « από ποια άποψη ο δεύτερος νόμος με τη μορφή τ = dL/dt  αποτελεί τη γενικότερη διατύπωση του τ = Ια_γων ;».

Ο νόμος με τη μορφή τ  = dL/dt  

α. αναφέρεται σε οποιοδήποτε σώμα ή σύστημα σωμάτων.

β.  τ  = dL/dt   τ  = d(Ιω)/dt   τ = Ιdω/dt + ωdI/dt   τ = Ια_γων + ωdI/dt είναι γενικότερος διότι καλύπτει και την περίπτωση με μεταβαλλόμενη ροπή αδράνειας. Μόνο αν η ροπή  αδράνειας είναι σταθερή προκύπτει η  τ = Ια_γων

Μια  ΛΥΣΗ   Το κινούμενο ευθύγραμμα υλικό σημείο Σ ΕΧΕΙ ( στιγμιαία ) ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ως προς Ο ίση με mυR ενώ το στερεό Π έχει στιγμιαία στροφορμή ως προς Ο ίση με Ιω.  Αν είναι L η στιγμιαία στροφορμή του συστήματος

                                                     L = mυR + Ιω .

Αν εφαρμόσουμε τον δεύτερο νόμο με τη γενικευμένη μορφή στο ΣΥΣΤΗΜΑ «στερεό Π, νήματα και σώμα Σ

   τ  = dL/dt.    τ = mRdυ/dt + Idω/dt + ωdI/dt.

Εφόσον   dI/dt = 0   dυ/dt = α    και       dω/dt = α_γων .            τ = maR + Iα_γων .    

F.2R -  mgR = (ΜR² +mR²)α_γων .

Το να εφαρμόσουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα - με τη γενικότερη μορφή -  στο ΣΥΣΤΗΜΑ «στερεό Π, νήματα και σώμα Σ» οδηγεί  στην καλύτερη κατά την άποψή μου λύση.

O δεύτερος νόμος με τη γενικότερη διατύπωση δεν έχει τα μειονέκτημα του νόμου με τη μορφή  τ = Ια_γων

Συμπέρασμα . Η σχέση τ = (ΜR² +mR²)α_γων  είναι σωστή αλλά η απόδειξη για την ορθότητά της δεν μπορεί να γίνει με εφαρμογή της τ = Ια_γων . Και ο λόγος είναι - όχι διότι ένα ευθύγραμμα κινούμενο υλικό σημείο δεν μπορεί να έχει στιγμιαία  γωνιακή επιτάχυνση ως προς Ο ή στιγμιαία στροφορμή ως προς Ο - , αλλά διότι

α. η ροπή αδράνειας του συστήματος δεν είναι χρονικά σταθερή αλλά και

β. η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα του Σ δεν είναι ίση με τη στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα του τροχού.

Ο νόμος πρέπει να εφαρμοστεί με τη μορφή τ  = dL/dt. 

Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας