Τετάρτη, 22 Απριλίου 2009

ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ.

Από τον συνάδελφο Βουζίκη Αντώνη πήρα ένα αρχείο για το πώς βρίσκουμε την διαφορά φάσης μεταξύ  δύο σημείων στο στάσιμο κύμα. Αφού τον ευχαριστήσω για την προσφορά του αυτή, την δίνω για μελέτη.

Πώς βρίσκουμε τη διαφορά φάσης δύο σημείων της χορδής, πάνω στην οποία έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα.

Γενικά δύο σημεία του μέσου έχουν διαφορά φάσης Δφ= 0   ή  Δφ = π .

1) Αν δύο σημεία βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, έχουν την ίδια φάση (Δφ=0) ενώ αν βρίσκονται εκατέρωθεν ενός δεσμού, τότε έχουν διαφορά φάσης π (Δφ = π).
2)    Γενικότερα για δύο τυχαία σημεία της χορδής, μπορούμε να βρούμε τη διαφορά φάσης ως εξής:.

Ελέγχουμε το πρόσημο του γινομένου  y 1 ·y2.



Παράδειγμα:
Κατα μήκος μιας χορδής δημιουργείται στάσιμο κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση:
 
 Να βρείτε τη διαφορά φάσης των σημείων Α και Β που απέχουν από το άκρο της χορδής (x = 0) αποστάσεις:  xA = 3 cm και xB = 24 cm.

 .

15 σχόλια:

Βαγγέλης είπε...

Αντώνη & Διονύση
δεν θα 'ταν καλύτερο
(αφού ούτως ή άλλως πρέπει να γίνουν μαθηματικές πράξεις)
να αντικαταστήσουμε τις θέσεις των δυο "σημείων" στην εξίσωση του στάσιμου και να "φτιάξουμε" έτσι τις εξισώσεις απομάκρυνσης
(χρησιμοποιώντας αν χρειαστεί και το ότι "τόξα που διαφέρουν κατά π έχουν αντίθετα ημίτονα")?

Έτσι, οι μαθητές θα έχουν τις 2 εξισώσεις
yΑ=A1ημ(ωt) ή yΑ=Α1ημ(ωt+π)
και
yΒ=Α2ημ(ωt) ή yΒ=Α2ημ(ωt+π)

Για να αναδεικνύεται και η φυσική σημασία κάποιων αποτελεσμάτων...

Ανώνυμος είπε...

Για πολλοστή φορά χρειάζεται να διορθώσω συνάδελφό μου για τη διαφορά ανάμεσα στο "συμφωνία φάσης" που σημαίνει y1=y2 και V1=V2και το"διαφορά φάσης Δφ=0" που σημαίνει ότι μπορεί να μην ισχύουν οι προηγούμενες σχέσεις(π.χ y1=A1ημωt καιy2=A2ημωt και όμως Δφ=0).
Αντίστοιχα "αντίθεση φάσης" σημαίνει y1=-y2 και V1=-V2 και "διαφορά φάσης Δφ=π"σημαίνει ότι μπορεί να μην ισχύουν οι προηγούμενες σχέσεις(π.χ y1=A1ημωt καιy2=A2ημ(ωt+π) και όμως Δφ=π).
Ας είμαστε πιο προσεκτικοί παραμονές εξετάσεων, διότι υπάρχουν μαθητές που αυτά τα έχουν ξεκαθαρίσει στο μυαλό τους και μας διαβάζουν.

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Για τον Βαγγέλη.
Θα συμφωνήσω μαζί σου για τον τρόπο εύρεσης της φάσης κάθε σημείου, το προτιμώ και εγώ, αν και φαίνεται ευκολότερο το να βρει κάποιος το γινόμενο y1y2.
Για τον ανώνυμο.
Δίκιο έχετε. Οι σωστές λέξεις για να περιγράψουν το τι συμβαίνει στο στάσιμο είναι διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων 0 και διαφορά φάσης π.
Αν και νομίζω ότι η πρόταση του συναδέλφου Αντώνη αλλού στόχευε.

Βουζίκης Αντώνης είπε...

Βαγγέλη,
χρησιμοποιώ και εγώ τη μέθοδο που προτείνεις, απλά έδωσα και μια διαφορετική προσέγγιση-επιλογή.Εφάρμοσε τη μέθοδο που αναφέρεις (και ειναι πολύ σωστή) στο παράδειγμα που προτείνω και θα διαπιστώσεις οτι η μαθηματική διατύπωση ειναι δυσκολότερη σε σχέση με τη μέθοδο που προτείνω.

Βουζίκης Αντώνης είπε...

Για τον γνωστό - άγνωστο ΑΝΩΝΥΜΟ:
Θα συμφωνήσω με την παρατήρησή του, διαφορά φάσης Δφ=0 και διαφορά φάσης Δφ = π ειναι η σωστή διατύπωση.
Αλλά,θα διαφωνήσω με το ύφος και το στύλ της κριτικής του.

Αλήθεια..Αυτό το "...διαβάζουν και μαθητές τη σελίδα..." κατι μου θυμίζει ή κάνω λάθος;

ΔΙΟΝΥΣΗ, ευχαριστώ για τη διόρθωση.

Βαγγέλης είπε...

Αντώνη, φυσικά και ο τρόπος σου είναι συντομότερος, άρα και πρακτικότερος σε πολλές περιπτώσεις.
Δεν καλύπτει βέβαια τις περιπτώσεις των χρονικών στιγμών που τα "σημεία" διέρχονται από τις Θ.Ι. τους, αφού τότε είναι y1=y2=0.
Γι' αυτό αναφέρθηκα στη φυσική σημασία των όσων γράφουμε και συμβολίζουμε.

Σε κάθε περίπτωση, ο εξεταζόμενος (στις πανελλαδικές εξετάσεις) που θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσει τη μέθοδο που προτείνεις, θα πρέπει με κάποιο τρόπο να την τεκμηριώσει (εκτός αν είναι σε θέμα πολ/πλής επιλογής ή Σ-Λ). Οπότε, θα απαιτηθεί και πάλι χρόνος και γράψιμο.

Πάντως, ναι, η πρότασή σου είναι χρήσιμη σε όσους ασχολούνται.

Asimakopoulos είπε...

Αγαπητοί συνάδελφοι εγώ μέχρι τώρα προτείνω στους μαθητές μου να βρίσκουν τα Α΄ δηλ. τα πλάτη του στάσιμου κύματος στις δύο θέσεις και αν αυτά είναι ομόσημα τότε ΔΦ=0 εάν είναι ετερόσημα ΔΦ=π. Μήπως κάνω κάτι λάθος;

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Για τον συνάδελφο Ασημακόπουλο.
Όχι δεν κάνετε λάθος. Ο τρόπος σας είναι ισοδύναμος με αυτό που προτείνει ο συνάδελφος Βαγγέλης.
Απλά εσείς δεν μεταφέρεται το πρόσημο που βρίσκεται παίρνοντας το 2Ασυν2πχ/λ μέσα στη φάση (στο ημίτονο).
Βέβαια υπάρχει μια επιφύλαξη. Το πλάτος ταλάντωσης ενός σημείου είναι το απόλυτο του 2Ασυν2πχ/λ και κατά δεύτερον πώς ερμηνεύεται η διαφορά φάσης π;

Ανώνυμος είπε...

Επειδή δεν έχω το χρόνο να γράψω και να στείλω την μακροσκελή θεωρητική απόδειξη ότι στο στάσιμο κύμα η διαφορά φάσης είναι Δφ=0 ή Δφ=π,σας προτείνω την πιο εύχρηστη απόδειξη,ειδικά για μαθητές:
Στην έκφραση Α'=2Ασυν2πx/λ η συνάρτηση συν2πx/λ είναι περιοδική με περίοδο 2π και "αλλάζει " πρόσημο κάθε π.Σε γωνία π (διαφορά φάσης)αντιστοιχεί απόσταση Δx=λ/2.
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Κάθε φορά που απομακρύνομαι από ένα σημείο περισσότερο από Δx=λ/2, το συν2πx/λ "αλλάζει" πρόσημο, άρα στη φάση προσθέτουμε π (Δφ=π),αντίθετα όταν απομακρύνομαι από ένα σημείο λιγότερο από Δx=λ/2το συν2πx/λ δεν"αλλάζει" πρόσημο, άρα η φάση παραμένει ίδια (Δφ=0 ).

Asimakopoulos είπε...

Κύριε Μάργαρη σας εύχομαι χρόνια πολλά και να είστε καλά.
Υποστηρίζω ότι το Α΄ στους τύπους είναι με το πρόσημό του. Κατά απόλυτη τιμή το παίρνουμε όταν αναζητούμε μόνο του το Α΄.
Το ίδιο συμβαίνει και στη συμβολή και το είχαμε ξανασυναντήσει στην άσκηση των πανελλαδικών 2004 επαναληπτικό θέμα όπου υπάρχει αναρτημένη μια λύση διαφορετική και μάλλον σωστή του θέματος αυτού.
Προφανώς και συμφωνώ με τον συνάδελφο Βαγγέλη .
Το πρόσημο έχει σημασία φάσεως είτε το έχουμε μεταφέρει στο ημίτονο είτε όχι.
Η φυσική σημασία του π είναι ότι το αρνητικό Α΄ θα δημιουργήσει αντιθέτου προσήμου απομάκρυνση, ταχύτητα και επιτάχυνση από ότι στα σημεία με θετικό Α΄.

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Κύριε Ασημακόπουλε να συμφωνήσω απόλυτα μαζί σας. Απλά η επιφύλαξή μου ήταν στο εξής:
Αν ένας μαθητής δεν βρει την φάση αλλά απλά με το πρόσημο του Α βγάλει συμπέρασμα, θα είναι καλυμμένος στην βαθμολόγηση;
Διατηρώ σε αυτό κάποια επιφύλαξη.

Σταύρος Πρωτογεράκης είπε...

Χρόνια Πολλά σε όλους.
Φαντάζομαι ότι όταν ο ανώνυμος (των 3.43μμ ...) στο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ λέει σημείο εννοεί δεσμό.

Όσο για τις διαμάχες περί δημοσίου και ιδιωτικού τομέα είναι, πιστεύω, άσκοπες. Παντού υπάρχουν άνθρωποι που παθιάζονται και παλεύουν και άλλοι που λουφάρουν και σχολιάζουν με κακεντρέχεια.
Προσωπικά ήμουν για χρόνια φροντιστής και εδώ και 6 χρόνια καθηγητής σε ιδιωτικό σχολείο. Έχω σε εκτίμηση πολλούς συναδέλφους τόσο στον χώρο του δημοσίου όσο και του ιδιωτικού τομέα.
Φιλικά, Σταύρος Πρωτογεράκης

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Επειδή πιστεύω ότι το θέμα της κριτικής, τις τελευταίες ημέρες έχει ξεπεράσει κάποια όρια και πρέπει να κλείσει, θέλω να προσυπογράψω δύο σημεία:
1) Γράφει ο Αντώνης: "Αλλά,θα διαφωνήσω με το ύφος και το στύλ της κριτικής του." Τόσο απλό και εύκολο!!!
2) Γράφει ο Σταύρος:
"Όσο για τις διαμάχες περί δημοσίου και ιδιωτικού τομέα είναι, πιστεύω, άσκοπες. Παντού υπάρχουν άνθρωποι που παθιάζονται και παλεύουν και άλλοι που λουφάρουν και σχολιάζουν με κακεντρέχεια."
Και μια προσωπική κατάθεση. Στην προσπάθεια που γίνεται στον χώρο αυτό, από την πρώτη στιγμή βρήκα συμπαραστάτες, συναδέλφους και του δημοσίου σχολίου και της ιδιωτικής εκπαίδευσης και των φροντιστηρίων. (Σαν παράδειγμα θα ήθελα να αναφέρω τον συνάδελφο Χημικό Νίκο Καχριμάνη, ο οποίος από τις πρώτες μέρες έχει στείλει πληθώρα υλικού, στο οποίο υπάρχει και ο λογότυπος του Φροντιστηρίου του, τον οποίο λογοκρίνω, για να μην θεωρηθεί ότι κάνουμε και διαφήμιση!!!) Παντού υπάρχουν άνθρωποι που προβληματίζονται και που έχουν διάθεση προσφοράς. Το θέμα είναι προσωπικό. Προφανώς κάποιος μπορεί να διαφωνεί με την πρακτική του "το να μοιράζεσαι πράγματα είναι καλό για όλους" ή να θεωρεί ανάξιους τους συναδέλφους που γράφουν κάποιο θέμα, αλλά δεν είναι υποχρεωμένος να παρακολουθεί τις αναρτήσεις που πραγματοποιούνται εδώ.

Νίκος Ανδρεάδης είπε...

Αφού ευχηθώ χρόνια πολλά στον αγαπητό συνάδελφο Σταύρο, να γράψω ότι μόλις σήμερα μπόρεσα να διαβάσω τις ενδιαφέρουσες ανταλλαγές απόψεων αυτής της ανάρτησης.

Το θέμα αυτό το έχω μελετήσει και θα βρώ χρόνο σήμερα να στείλω στον Διονύση την άποψη μου που δεν είναι μακροσκελέστατη και αν κάπου σφάλω να με διορθώσετε.

Επίσης θα συμφωνήσω με την άποψη του Σταύρου περί δεσμού και όχι σημείου και θα συμπληρώσω ότι ξεκινώντας από το σημείο χ=0 όπου κατά το σχολικό βιβλίο έχουμε κοιλία σε απόσταση λ/4 έχουμε δεσμό και αλλαγή προσήμου του συν(2πχ/λ).

Διονύση αυτά τα περί "μαθητών" και "ξεκαθαρισμάτων" του "ανώνυμου" τα παρακάμπτω με ένα χαμόγελο... και προχωρώ στην ετοιμασία της ανάρτησης.

Βουζίκης Αντώνης είπε...

Τελικά μετά τα όσα αναρτήθηκαν σχετικά με το θέμα, θα συμφωνήσω και θα υποστιρήξω ως ΠΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΗ ΠΙΟ ΑΠΛΗ ΠΙΟ ΠΛΗΡΗ ΑΡΑ ΚΑΙ ΠΙΟ ΣΩΣΤΗ τη μέθοδο που προτείνει στο σχόλιό του ο φίλος μου ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΚΟΛΤΣΑΚΗΣ.
Δηλαδή για να βρούμε τη διαφορά φάσης δύο σημείων στο στάσιμο, πρέπει:(μεταφέρω απο το σχόλιο του Βαγγέλη)

"να αντικαταστήσουμε τις θέσεις των δυο "σημείων" στην εξίσωση του στάσιμου και να "φτιάξουμε" έτσι τις εξισώσεις απομάκρυνσης
(χρησιμοποιώντας αν χρειαστεί και το ότι "τόξα που διαφέρουν κατά π έχουν αντίθετα ημίτονα")?

Έτσι, οι μαθητές θα έχουν τις 2 εξισώσεις
yΑ=A1ημ(ωt) ή yΑ=Α1ημ(ωt+π)
και
yΒ=Α2ημ(ωt) ή yΒ=Α2ημ(ωt+π)"