Τρίτη, 28 Απριλίου 2009

Μιλώντας για την φάση…

Αναδημοσιεύω μερικά σχόλια από Ανώνυμο αναγνώστη στην ανάρτηση: 
 Ο/Η Ανώνυμος είπε...
Η λύση που έχετε στην άσκηση είναι λάθος. Η εξίσωση του κύματος πρέπει να έχει ένα μείον έξω. Είναι λάθος να το βάλουμε το μείον μέσα στη φάση. Με την λογική που λύνεται την άσκηση το κύμα έχει διαδοθεί κατά 3λ/4 και όχι λ/4
Blogger Ο/Η Δ. Μ είπε...
Δεν καταλαβαίνω πού έχω λάθος.
Δεν έχω βάλει κανένα μείον πουθενά.
Αν θέλετε μπορείτε να είστε πιο αναλυτικός στην παρατήρησή σας.
Άλλωστε τι σημαίνει η εξίσωση του κύματος πρέπει να έχει ένα μείον απέξω; Από πού προκύπτει;
Ανώνυμος Ο/Η Ανώνυμος είπε...
Για ποιο λόγο δεν προβάλετε την άποψη μου για την άσκηση?
Ανώνυμος Ο/Η Ανώνυμος είπε...
αν δίναμε την εξίσωση με τη μορφή που την παρουσιάζετε στη λύση και ζητηγαμε το στιγμιότυπο την t=0 θα έβγαινε άλλο από αυτό που δίνετε στην εκφώνηση.
με βάση το στιγμιότυπο η πηγή όπου και αν βρίσκεται ξεκινά να ταλαντώνεται προς τα κατω. μπορουμε να θεωρήσουμε ότι έχει αρχική φάση π? οχι.θα θεωρούσαμε ότι έχει αρχική φάση π αν ξεκινούσε κινούμενη προς τα θετικά από την θι και σαν t=0 θεωρούσαμε τη στιγμή που περνά για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας. Η σωστή εξίσωση για το κύμα είναι ψ=-Αημ{2πτ/τ-2πχ/λ+π+π/2}

Ανώνυμος Ο/Η Ανώνυμος είπε...
-Αημ(2πτ/Τ-2πχ/λ+π/2)
Blogger Ο/Η Δ.Μ. είπε...
Απαντώντας στον ανώνυμο:
"Για ποιό λόγο δεν προβάλετε την άποψη μου για την άσκηση?"
Πού να προβάλλω την άποψή σας;
Το σχόλιό σας δεν υπάρχει; Μήπως το αφαίρεσα; Προφανώς από ότι βλέπετε όχι. Υπάρχει και μπορεί όποιος επιθυμεί να το διαβάσει.
Αν επιθυμείτε μεγαλύτερη συζήτηση πάνω στο θέμα μπορείτε να στείλετε μια πλήρη ανάλυση στο θέμα και θα την αναρτήσω.
Όσον αφορά τα επόμενα σχόλια θα επανέλθω σε νεότερο σχόλιο, Ο χρόνος γαρ...
Blogger Ο/Η Δ.Μ. είπε...
Προς ανώνυμο.
Έστω ότι στο άκρο ενός τεντωμένου νήματος υπάρχει πηγή κύματος η οποία για t=0 αρχίζει να κινείται από την θέση ισορροπίας κινούμενη προς την αρνητική φορά. Ποια η αρχική της φάση; Προφανώς π. Και τι κύμα δημιουργεί; Ένα κύμα που καθώς προχωρά διαδίδεται κοιλάδα.
Συνεπώς και κάθε σημείο στο οποίο φτάνει το κύμα, θα αρχίσει να κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση και συνεπώς ξεκινά την ταλάντωσή του έχοντας φάση ίση με π. Επιμένω λοιπόν ότι η εξίσωση που έχω βγάλει στην λύση της ανάρτησης είναι σωστή, αφού παίρνοντας το στιγμιότυπο για t=0, όπως προτείνεται, προκύπτει η εικόνα του σχήματος.
Η πρότασή σας συνεπάγεται ότι στο μέτωπο του κύματος πρέπει πάντα να έχουμε όρος, πράγμα που δεν είναι σωστό. Αυτό είναι το ένα δυνατόν ενδεχόμενο. Το άλλο είναι να έχουμε κοιλάδα.Διαγραφή
Ανώνυμος Ο/Η Ανώνυμος είπε...
Νομίζω ότι δεν έγινα σαφής. Μηδενισμός φάσης σημαίνει έναρξη ταλαντωσης .Την τ=0 η εξίσωση σας δίνει φ=0 στη θέση χ=3λ/4και όχι στη θέση λ/4 που δίχνει το στιγμιότυπο. Το - έξω από την εξίσωση δείχνει ότι ξεκινά με κοιλάδα το κύμα.Διαβάζουν και μαθητές την σελίδα και είναι καλό να είμαστε προσεκτικοί.
 ----------------------------------
Με αφορμή τα παραπάνω σχόλια, ας μιλήσουμε ξανά για την φάση.

Η φάση ορίζεται για κάθε αρμονικά μεταβαλλόμενο εναλλασσόμενο μέγεθος και μας δείχνει πώς μεταβάλλεται το μέγεθος αυτό καθώς περνά ο χρόνος. Έτσι για κάθε μέγεθος που μεταβάλλεται σύμφωνα π.χ.  με την εξίσωση:
V=V0ημ(ωt+φ0)
ορίζουμε φάση την ποσότητα:
φ=ωt+φ0
όπου φ0 η φάση του μεγέθους την χρονική στιγμή t0=0.
Έτσι αν μιλάμε για μια απλή αρμονική ταλάντωση η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι:
x=Α ημ(ωt+φ0) και η ποσότητα της οποίας παίρνουμε το ημίτονο, φ=ωt+φ0 ονομάζεται φάση της απομάκρυνσης  ή και απλά φάση της ταλάντωσης.

Ας δούμε κάποια παραδείγματα, για να κατανοήσουμε τα παραπάνω.
Παράδειγμα 1ο:
Δύο σώματα Β και Γ εκτελούν ταλαντώσεις του ίδιου πλάτους Α και της ίδιας περιόδου Τ. Τα σώματα ξεκινούν την ταλάντωσή τους για t0=0, το πρώτο από την θέση ισορροπίας κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση και το δεύτερο από την μέγιστη θετική απομάκρυνση.
α) Ποια η αρχική φάση της ταλάντωσης κάθε σώματος;
β) Πόση είναι η φάση κάθε σώματος την χρονική στιγμή t1=Τ/4;
Απάντηση:
α) Η απάντηση εύκολη, για το σώμα Β φ01=0 και για το Γ φ02= π/2  (rad).
Προσοχή: Πότε ξεκινούν τα σώματα; Όταν μηδενίζεται η φάση; Προφανώς ΟΧΙ. Αυτό συμβαίνει μόνο όταν δεν υπάρχει αρχική φάση φ0.
β) την χρονική στιγμή t1 τα σώματα έχουν φάσεις:
φΒ=ωt+0= 2π/Τ·Τ/4=π/2  (rad)
φΓ=ωt+ π/2 = 2π/Τ·Τ/4+π/2= π  (rad)

Παράδειγμα 2ο:
Ένα σώμα για t0=0 ξεκινά την ταλάντωσή του από τη θέση ισορροπίας και κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση.
α) Η εξίσωση της απομάκρυνσής του είναι:        
i)  x= Α ημ(2πt+π)  ή ii)  x= - Αημωt
β)  Ποια η φάση της απομάκρυνσης τη στιγμή t1=1s;
Απάντηση:
α)   Προφανώς οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε την πρώτη είτε την δεύτερη, αν θέλουμε να μελετήσουμε την κίνηση του σώματος.
β)   Για να βρούμε την φάση πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χρησιμοποιηθεί η πρώτη εξίσωση. Η φάση της ταλάντωσης δεν προκύπτει από την ii) εξίσωση. Έτσι:
φ=2πt+π = 3π (rad)
Μήπως το ότι έχει φάση 3π σημαίνει ότι έχει εκτελέσει 1,5 ταλαντώσεις; Σίγουρα το σώμα έχει κάνει μόνο ΜΙΑ ταλάντωση αφού Τ=t1=1s, απλά τη στιγμή που ξεκινά την ταλάντωσή του είχε ήδη φάση ίση με π.

Παράδειγμα 3ο:
Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο α.α.τ. της ίδιας διεύθυνσης γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και με εξισώσεις:
x1= 0,3 ημ2πt   και x2= - 0,5 ημ2πt  (μονάδες στο S.Ι.)
α) Ποια η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων;
β) Ποια η φάση της ταλάντωσης του σώματος την χρονική στιγμή t1=0,5s;
Απάντηση:
α) Για να βρούμε την διαφορά φάσης θα πρέπει να ξαναγράψουμε την εξίσωση της απομάκρυνσης για την δεύτερη ταλάντωση:
x2= - 0,5 ημ2πt = 0,5·ημ(2πt+π)
πράγμα που σημαίνει ότι η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο ταλαντώσεων είναι π (rad).
β) Η απομάκρυνση του σώματος προκύπτει από την αρχή της επαλληλίας:
x=x1+x2= -0,2 ημ2πt = 0,2 ημ(2πt+π)
Και για t1=0,5 έχουμε:
φ= 2πt+π = 2π  (rad)
 Παράδειγμα 4ο:
Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά διαδίδονται δύο κυματομορφές, όπως στο σχήμα.
Τα σημεία Α και Β τη στιγμή που ελήφθη το στιγμιότυπο ξεκινούν την ταλάντωσή τους. Ποια είναι η φάση τους;
Απάντηση:
Το σημείο Α θα κινηθεί προς τα πάνω, θετική κατεύθυνση, ξεκινώντας από την θέση ισορροπίας του, συνεπώς φΑ=0. Το σημείο Β βρίσκεται και αυτό στη θέση ισορροπίας του αλλά θα κινηθεί προς την αρνητική κατεύθυνση, άρα φΒ=π (rad).

Παράδειγμα 5ο:
Δίνεται ένα στιγμιότυπο ενός κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά και η εξίσωση του οποίου είναιy=0,2ημ2π(t-x+3/4). (Προφανώς Τ=1s και λ=1m). Τη στιγμή που ελήφθη το στιγμιότυπο η ταχύτητα του σημείου Ο στη θέση x=0 είναι μηδενική.
α) Ποια η φάση του σημείου Ο την στιγμή αυτή;
β) Σε ποια χρονική στιγμή αντιστοιχεί το παραπάνω στιγμιότυπο;
Απάντηση:
α) Το σημείο Σ έχει φάση π και το σημείο Ο έχει μεγαλύτερη φάση κατά π/2, συνεπώς έχει φάση 3π/2 rad
Το  σημείο Σ που βρίσκεται στη θέση x=λ/4=0,25m έχει την στιγμή αυτή φάση φ=π. Οπότε:
2π(t-0,25+0,75) = π
2(t+0,5) = 1
2t + 1 = 1
t=0.
Συμπέρασμα:
Με βάση και την ανάρτηση: Περιστρεφόμενα διανύσματα και κύκλος αναφοράς Ταλάντωσης.) κάθε αρμονικά μεταβαλλόμενο μέγεθος μπορεί να θεωρηθεί ως η προβολή ενός περιστρεφόμενου διανύσματος. Η φάση είναι η γωνία του περιστρεφόμενου διανύσματος κάθε στιγμή με τον άξονα Οx.
 Δηλαδή αναφερόμενοι στο παραπάνω σχήμα όταν μια μικρή σφαίρα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, η θέση της κάθε στιγμή καθορίζεται από την γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα θέσης με τον ημιάξονα Οx. Έτσι την τυχαία χρονική στιγμή t η γωνία αυτή είναι ωt+φ0. Αν πάρουμε την προβολή του διανύσματος θέσης στον κατακόρυφο άξονα έχουμε y=Rημ(ωt+φ0), παίρνουμε δηλαδή ένα μέγεθος που μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο με φάση φ=ωt+φ0, όπου φ0 η αρχική γωνία του διανύσματος για t=0.
Αν αυτά γίνονται κατανοητά τότε μπορούμε να απαντήσουμε σε δύο ερωτήματα:

1) Είναι σωστή η πρόταση «Μηδενισμός φάσης σημαίνει έναρξη ταλαντωσης»;
Η πρόταση είναι λάθος. Προϋποθέτει φ0=0. Να το πούμε με άλλα λόγια:
Στην ευθύγραμμη κίνηση που μελετάμε στην Α΄Λυκείου, μαθαίνουμε ότι άλλο θέση x και άλλο μετατόπιση Δx. Οι τιμές των μεγεθών συμπίπτουν μόνο αν για t=0 και x0=0. Το ίδιο ακριβώς έχουμε και εδώ. Αν έχουμε ένα σώμα που κάνει κυκλική κίνηση, άλλο η (γωνιακή) του θέση θ και άλλο η (γωνιακή) μετατόπισή του Δθ=θ-θ0, όπου στο σχήμα είναι η γωνία ΑΟΒ.

Άλλο η φάση ενός μεγέθους φ=ωt+φ0 και άλλο η μεταβολή της φάσης του Δφ=ωt.

2) Αναφερόμενοι σε ένα κύμα είναι λογικό να λέμε: «Η εξίσωση του κύματος πρέπει να έχει ένα μείον έξω»;
Το ερώτημα θα το απαντήσουμε, αφού πρώτα επιλύσουμε ένα άλλο πρόβλημα. Ένα σώμα βρίσκεται στο σημείο Α του παρακάτω σχήματος.
 Η γωνία θ ή η γωνία φ δείχνει την γωνιακή του θέση; Εδώ πρακτικά είτε ξέρουμε την γωνία θ=210° είτε την γωνία φ=150°, η πληροφορία είναι ίδια. Χρειάζεται όμως παραπέρα επιχειρηματολογία γιατί στην γλώσσα των Μαθηματικών και της Φυσικής η γωνία θ=210° ενώ η φ= -150°; Όλοι ξέρουμε  ότι  έχει επικρατήσει να χρησιμοποιούμε την γωνία θ και όχι την γωνία φ.
Αν λοιπόν έχουμε μια ταλάντωση που το σώμα ξεκινά την ταλάντωσή του από την θέση ισορροπίας προς την αρνητική κατεύθυνση, ποια μπορεί να είναι η εξίσωσή του:
y= -Aημ(ωt)  (1)    ή  yημ(ωt+π)  (2)
Υποστηρίζω  ότι η σωστή εκδοχή είναι η (2). Γιατί; Ας δούμε τι σημαίνει η  εκδοχή (1):
y= -Aημ(ωt) = Αημ(-ωt)
 Δηλαδή αναφερόμενοι στον παραπάνω κύκλο μελετά την κίνηση μετρώντας δεξιόστροφα τις γωνίες, ορίζει την θέση του σώματος με την γωνία φ και όχι με την θ. Μπορεί κάποιος να το κάνει; Ο καθένας μπορεί να ορίζει τα πράγματα με τον τρόπο που τον βολεύει, αλλά για να μπορούμε να συνενοούμαστε μεταξύ μας πρέπει να υπάρχει και ένας ορισμένος κώδικας επικοινωνίας….
.
Μπορείτε να διαβάσετε και ένα σχόλιο, πάνω στα σχόλια:

Πάνω στο θέμα που συζητάμε έλαβα και μια απάντηση από τον συνάδελφο Γιώργο Παπαδήμα, την οποία μπορείτε να δείτε  από ΕΔΩ.  αλλά και μια παλαιότερη ανάλυσή του πάνω στο ίδιο θέμα, που μου είχε στείλει πέρισυ και την είχα δημοσιεύσει με άλλη αφορμή. Δείτε την από  ΕΔΩ

Αλλά με χαρά διάβασα και μια ανάλυση από τον συνάδελφο Γιώργο Παναγιωτακόπουλο που  θα συνιστούσα να μελετηθεί. Διαβάστε την  Αρχική Φάση και τρέχoν κύμα...
 .

Δεν υπάρχουν σχόλια: