Εξαναγκασμένη Ταλάντωση και Ενέργειες.

Από την συνάδελφο Ελευθερία Νασίκα, έλαβα ένα κείμενο πάνω στην ενέργεια στην εξαναγκασμένη ταλάντωση. Ομολογώ ότι στην αρχή την είδα σαν μια απόδειξη, λίγο περίεργη αν και σωστή. Μόλις την σκέφτηκα όμως λίγο και όσο περισσότερο την έβλεπα τόσο περισσότερο μου άρεσε, για να μην πω ότι με ενθουσίασε. Γιατί; Μα γιατί με πολύ απλό, χειροπιαστό και κατανοητό τρόπο, χωρίς δύσκολα μαθηματικά και αφηρημένες έννοιες, αποδείκνυε ένα θέμα, το οποίο θεωρείται προχωρημένο και που συχνά λέγεται με λάθος τρόπο. Αφού λοιπόν την ευχαριστήσω και από τη θέση αυτή για την προσφορά της, θα συνιστούσα στους συναδέλφους να την μελετήσουν με προσοχή.

Μελετώντας τις αναρτήσεις «Εξαναγκασμένη ταλάντωση και συντονισμός» του συναδέλφου Διονύση Μάργαρη και «Ενέργειες στην εξαναγκασμένη ταλάντωση» του συναδέλφου Σταύρου Πρωτογεράκη, στις οποίες αναφέρεται πως, μόνο στην περίπτωση που η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, η μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης U_max= ½ mω_ο²A²είναι ίση με την μέγιστη κινητική ενέργεια K_max= ½ mω_δ²Α², αναρωτήθηκα για το πού πραγματικά οφείλεται αυτή η διαφορά και πάνω σ΄ αυτό κατέληξα στα εξής:

  

Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση ενός συστήματος ελατηρίου-μάζας ασκούνται οι δυνάμεις:

η ελαστική δύναμη -kx, με k=mω_ο² , η δύναμη απόσβεσης και η δύναμη από το διεγέρτη, τη συνισταμένη των οποίων ονομάζω έστω F΄.

 Έτσι από το 2^ο νόμο του Newton για την κίνηση έχουμε

–kx + F΄= mα και επειδή α=–ω_δ²x

 –kx + F΄= – mω_δ²x.

 F΄= -m(ω_δ²-ω₀²)x

Τότε: 

·       Αν ω_δ>ω_ο τότε F΄=–m(ω_δ²–ω_ο²) x οπότε:

 

 Έστω λοιπόν ότι το σώμα ξεκινά από την ακραία θέση Β, στην οποία έχει μια ορισμένη τιμή δυναμικής ενέργειας U_max και κινείται προς τα αριστερά. Στο σχήμα εμφανίζονται οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα.

Το έργο της συνισταμένης (των F_δ και F_απ) F΄ είναι θετικό στην κίνηση προς τη Θ.Ι. Ο και αρνητικό προς την ακραία θέση Γ, οπότε η μέγιστη κινητική ενέργεια θα είναι μεγαλύτερη από τη μέγιστη δυναμική ενέργεια κατά το έργο τη F΄.

 Γιατί; Αν πάρουμε το Θ.Μ.Κ.Ε. από το Β στο Ο έχουμε:

Κ_Ο-Κ_Β= W_Fεπαν + W_F΄

Κ_Ο=(U_Β-U_Ο) + W_F΄ →

Κ_Ο=U_Β + W_F΄ →

Κ_Ο>U_Β.

Αντίστοιχη κατάσταση έχουμε αν πάρουμε την κίνηση από την ακραία θέση Γ προς την θέση Β, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Προσέξτε ότι το έργο της F΄από το Γ στο Ο είναι θετικό.

 

 i) Για την κίνηση από την ακραία θέση Β προς τα αριστερά:

 

Το έργο της F΄είναι αρνητικό κατά την κίνηση από το Β στο Ο, με συνέπεια η Κινητική ενέργεια στο Ο να είναι μικρότερη από την δυναμική ενέργεια στο Β.

ii) Για την κίνηση από το άκρο Γ προς τα δεξιά το αντίστοιχο σχήμα είναι:

 

 και πάλι το έργο της F΄είναι αρνητικό από το Γ στο Ο και θετικό από το Ο στο Β.

Συμπέρασμα και στις δύο παραπάνω περιπτώσεις η μέγιστη δυναμική ενέργεια είναι μεγαλύτερη από τη μέγιστη κινητική ενέργεια κατά το έργο τη F΄.

  

Αν ω_δ=ω_ο τότε F΄=0, οπότε ο στιγμιαίος ρυθμός προσφοράς ενέργειας από την F_δ και ο στιγμιαίος ρυθμός απώλειας ενέργειας από την F_απ είναι ίσοι κάθε στιγμή, δηλαδή κάθε στιγμή ο διεγέρτης αναπληρώνει ακριβώς την ενέργεια που χάνεται.

Άρα στην περίπτωση αυτή (όπως και στην ελεύθερη αμείωτη ταλάντωση όπου η F΄ δεν υπάρχει και επίσης δεν υπάρχει ούτε προσφορά ούτε απώλεια ενέργειας) η ενέργεια που προέρχεται από τη μείωση της κινητικής μετατρέπεται σε δυναμική, και αντίστροφα, μέσω του έργου της ελαστικής δύναμης –kx, και, αφού το ποσό κατά το οποίο μειώνεται η μία ενέργεια είναι ίσο με το ποσό κατά το οποίο αυξάνεται η άλλη, οι μέγιστες τιμές τους είναι ίσες.

  

Θέλοντας να ευχαριστήσω τους δύο συναδέλφους για τις αναρτήσεις τους, που μου έδωσαν έναυσμα για σκέψη πάνω σε ένα πολύπλοκο κατά τη γνώμη μου φαινόμενο, την εξαναγκασμένη ταλάντωση, αλλά και όλους τους υπόλοιπους συναδέλφους για τις μελέτες, τις παρατηρήσεις και τα σχόλιά τους, αναφέρω μια φράση που μου είχε πει πριν χρόνια ένας καθηγητής μου: «και από το λάθος σου σωστό κάποια στιγμή θα βγει, αρκεί να έχεις τη θέληση να το ψάξεις και την ταπείνωση να το δεχτείς».

Ελευθερία Χρ. Νασίκα

.