Δευτέρα, 27 Απριλίου 2009

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση και Ενέργειες.

Από την συνάδελφο Ελευθερία Νασίκα, έλαβα ένα κείμενο πάνω στην ενέργεια στην εξαναγκασμένη ταλάντωση. Ομολογώ ότι στην αρχή την είδα σαν μια απόδειξη, λίγο περίεργη αν και σωστή. Μόλις την σκέφτηκα όμως λίγο και όσο περισσότερο την έβλεπα τόσο περισσότερο μου άρεσε, για να μην πω ότι με ενθουσίασε. Γιατί; Μα γιατί με πολύ απλό, χειροπιαστό και κατανοητό τρόπο, χωρίς δύσκολα μαθηματικά και αφηρημένες έννοιες, αποδείκνυε ένα θέμα, το οποίο θεωρείται προχωρημένο και που συχνά λέγεται με λάθος τρόπο. Αφού λοιπόν την ευχαριστήσω και από τη θέση αυτή για την προσφορά της, θα συνιστούσα στους συναδέλφους να την μελετήσουν με προσοχή.

Μελετώντας τις αναρτήσεις «Εξαναγκασμένη ταλάντωση και συντονισμός» του συναδέλφου Διονύση Μάργαρη και «Ενέργειες στην εξαναγκασμένη ταλάντωση» του συναδέλφου Σταύρου Πρωτογεράκη, στις οποίες αναφέρεται πως, μόνο στην περίπτωση που η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, η μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης Umax= ½ mωο2A2είναι ίση με την μέγιστη κινητική ενέργεια Kmax= ½ mωδ2Α2, αναρωτήθηκα για το πού πραγματικά οφείλεται αυτή η διαφορά και πάνω σ΄ αυτό κατέληξα στα εξής:
  
Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση ενός συστήματος ελατηρίου-μάζας ασκούνται οι δυνάμεις:
η ελαστική δύναμη -kx, με k=mωο2 , η δύναμη απόσβεσης και η δύναμη από το διεγέρτη, τη συνισταμένη των οποίων ονομάζω έστω F΄.
 Έτσι από το 2ο νόμο του Newton για την κίνηση έχουμε
kx F΄= mα και επειδή α=–ωδ2x
 –kx F΄= – mωδ2x.
 F΄= -m(ωδ202)x

Τότε: 
·       Αν ωδο τότε F΄=–mδ2–ωο2) x οπότε:
 
 Έστω λοιπόν ότι το σώμα ξεκινά από την ακραία θέση Β, στην οποία έχει μια ορισμένη τιμή δυναμικής ενέργειας Umax και κινείται προς τα αριστερά. Στο σχήμα εμφανίζονται οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα.
Το έργο της συνισταμένης (των Fδ και FαπF΄ είναι θετικό στην κίνηση προς τη Θ.Ι. Ο και αρνητικό προς την ακραία θέση Γ, οπότε η μέγιστη κινητική ενέργεια θα είναι μεγαλύτερη από τη μέγιστη δυναμική ενέργεια κατά το έργο τη F΄.

 Γιατί; Αν πάρουμε το Θ.Μ.Κ.Ε. από το Β στο Ο έχουμε:
ΚΟΒ= WFεπαν + W
ΚΟ=(UΒ-UΟ) + W →
ΚΟ=UΒ + W →
ΚΟ>UΒ.
Αντίστοιχη κατάσταση έχουμε αν πάρουμε την κίνηση από την ακραία θέση Γ προς την θέση Β, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Προσέξτε ότι το έργο της F΄από το Γ στο Ο είναι θετικό.
 

 i) Για την κίνηση από την ακραία θέση Β προς τα αριστερά:
 
Το έργο της F΄είναι αρνητικό κατά την κίνηση από το Β στο Ο, με συνέπεια η Κινητική ενέργεια στο Ο να είναι μικρότερη από την δυναμική ενέργεια στο Β.

ii) Για την κίνηση από το άκρο Γ προς τα δεξιά το αντίστοιχο σχήμα είναι:
 
 και πάλι το έργο της F΄είναι αρνητικό από το Γ στο Ο και θετικό από το Ο στο Β.
Συμπέρασμα και στις δύο παραπάνω περιπτώσεις η μέγιστη δυναμική ενέργεια είναι μεγαλύτερη από τη μέγιστη κινητική ενέργεια κατά το έργο τη F΄.
  
Αν ωδο τότε F΄=0, οπότε ο στιγμιαίος ρυθμός προσφοράς ενέργειας από την Fδ και ο στιγμιαίος ρυθμός απώλειας ενέργειας από την Fαπ είναι ίσοι κάθε στιγμή, δηλαδή κάθε στιγμή ο διεγέρτης αναπληρώνει ακριβώς την ενέργεια που χάνεται.
Άρα στην περίπτωση αυτή (όπως και στην ελεύθερη αμείωτη ταλάντωση όπου η F΄ δεν υπάρχει και επίσης δεν υπάρχει ούτε προσφορά ούτε απώλεια ενέργειας) η ενέργεια που προέρχεται από τη μείωση της κινητικής μετατρέπεται σε δυναμική, και αντίστροφα, μέσω του έργου της ελαστικής δύναμης –kx, και, αφού το ποσό κατά το οποίο μειώνεται η μία ενέργεια είναι ίσο με το ποσό κατά το οποίο αυξάνεται η άλλη, οι μέγιστες τιμές τους είναι ίσες.
  
Θέλοντας να ευχαριστήσω τους δύο συναδέλφους για τις αναρτήσεις τους, που μου έδωσαν έναυσμα για σκέψη πάνω σε ένα πολύπλοκο κατά τη γνώμη μου φαινόμενο, την εξαναγκασμένη ταλάντωση, αλλά και όλους τους υπόλοιπους συναδέλφους για τις μελέτες, τις παρατηρήσεις και τα σχόλιά τους, αναφέρω μια φράση που μου είχε πει πριν χρόνια ένας καθηγητής μου: «και από το λάθος σου σωστό κάποια στιγμή θα βγει, αρκεί να έχεις τη θέληση να το ψάξεις και την ταπείνωση να το δεχτείς».

Ελευθερία Χρ. Νασίκα

.

6 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Κύριε Μάργαρη θα μπορούσατε να μου εξηγήσετε υι σημαίνει η πρόταση που συχνά βλέπω σε βιβλία ότι κατά το συντονισμό ο ρυθμός απορρόφησης ενέργειας από το ταλαντωτή είναι μέγιστος; Ευχαριστώ πολύ.

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Η πρόταση σημαίνει ότι:
Το σύστημα που ταλαντώνεται απορροφά από τον συντονιστή το μεγαλύτερο ποσό ενέργειας ανά δευτερόλεπτο.
Παράδειγμα, αν σε μια άλλη κατάσταση απορροφά ο ταλαντωτής ισχύ 3w, σε άλλη 4w στο συντονισμό θα απορροφά ισχύ 5w.

Ανώνυμος είπε...

Καλησπέρα κ.Μάργαρη. Θα ήθελα να ρωτήσω κάτι για το συντονισμό.Γιατί η καμπύλη συντονισμού δεν είναι συμμετρική γύρω από την fo και πως εξηγείται αυτό και το δεύτερο είναι εαν αλλάξουμε τη μάζα του ταλαντωτή είναι σωστό να χαράξουμε τη νέα καμπύλη με το ίδιο πλάτος; έχω δει ασκήσεις που σχεδιάζουν τις δυο καμπύλες με το ίδιο πλάτος και με βάση τα όσα διαβάζω στο blog , κάτι τέτοιο δεν ισχύει.όταν δηλαδή μας δώσουν συγκεκριμένη συχνότητα διεγέρτη fδ, συγκεκριμένο ταλαντωτή με fo και στη συνέχεια μας ρωτούν πως θα μεταβληθεί το πλάτος εάν διπλασιάσουμε τη μάζα του ταλαντωτή(έστω ότι μεγάλωσε η διαφορά fδ-fό), είμαστε σίγουροι ότι θα μειωθεί το πλάτος; Ελπίζω να καταλάβατε τις ερωτήσεις μου παρά τον άσχημο τρόπο με τον οποίο τις διατύπωσα και σας ευχαριστώ προκαταβολικά.

Ανώνυμος είπε...

Και μια ερωτηση ακομα. Τι διαφορα εχει η Α.Α.Τ με την Γ.Α.Τ; Ευχαριστω

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Αγαπητέ φίλε.
Δεν γράφεσαι στο δίκτυο (η εξέλιξη του παρόντος μπλογκ) ώστε να γίνεται εκεί η συζήτηση;
http://ylikonet.gr/
Έχεις δίκιο για το πλάτος στην περίπτωση αλλαγής της μάζας. Δεν είναι σωστό που συνήθως λέγεται.
Η καμπύλη δεν είναι συμμετρική, αφού αυτό δίνει η συνάρτηση από τη λύση της διαφορικής που περιγράφει την εξαναγκασμένη.
Η ΓΑΤ είναι γραμμική αρμονική ταλάντωση αλλά δεν ξέρουμε τη φύση των δυνάμεων οπότε μπορεί να μην ισχύουν τα ισχύοντα στην ΑΑΤ, δύναμη επαναφοράς, δυναμική ενέργεια. Ή διαφορετικά η δύναμη να είναι π,χ, χρονοεξαρτώμενη.

Ανώνυμος είπε...

Συγχαρητήρια! Πολύ όμορφη απόδειξη!
Στράτος Παπάς
Φυσικός