Τρίτη, 28 Απριλίου 2009

Εξίσωση κύματος.

Θέλουμε να διδάξουμε την εξίσωση κύματος. Ποιο κατά την γνώμη μου είναι το σημαντικότερο όλων και το οποίο πρέπει να στοχεύει η διδασκαλία μας; «Το ότι αν υπάρχει μια πηγή αρμονικής διαταραχής που αρχίζει να ταλαντώνεται για t0=0 με εξίσωση y=Aημωt, κάθε σημείο του μέσου Μ θα αρχίσει να ταλαντώνεται τη στιγμή t1=x/υ» ΕΚΤΕΛΩΝΤΑΣ ΑΠΟΛΥΤΑ ΟΜΟΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ. Τα εισαγωγικά είναι λόγια του σχολικού βιβλίου και τα κεφαλαία γράμματα είναι αυτό που εννοεί (αλλά δεν το λέει) και στο οποίο θέλω να εστιάσουμε την προσοχή μας. Έτσι για το σημείο Μ όταν μετά από λίγο θα αρχίσει να ταλαντώνεται η εξίσωση της απομάκρυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο θα είναι:
y=Aημω(t-t1) ….. και φτάνουμε στην εξίσωση του σχολικού βιβλίου:

Συχνά περνάμε γρήγορα τα παραπάνω, κρατάμε την εξίσωση (1) και αρχίζουμε να αντικαθοστούμε τιμές στο t (βρίσκοντας στιγμιότυπα) ή  στο x και (παίρνοντας την εξίσωση ταλάντωσης κάποιου σημείου). Το ενδιαφέρον εστιάζεται στο πώς ο μαθητής θα χαράξει τις γραφικές παραστάσει και μέχρι ποια θέση θα πρέπει να φτάσει, ή ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει η γραφικη παράσταση.

-------------

Προτείνω λοιπόν να εστιάσουμε την προσοχή μας στην εύρεση της εξίσωσης του κύματος. Αν ο μαθητής συνηδητοποιήσει ότι βρίσκει την εξίσωση ταλάντωσης ενός σημείου, γνωρίζοντας την εξίσωση ταλάντωσης ενός άλλου (προς το παρόν της πηγής), θα έχει κατανοήσει ότι κύμα είναι η διάδοση της ταλάντωσης και θεωρώ ότι αυτό είναι η ουσία του κύματος.

Αμέσως μετά το βιβλίο αναφέρει ότι αντίστοιχα για ένα κύμα προς τα αριστερά η εξίσωση θα είναι:

Αλήθεια πώς προκύπτει αυτή η εξίσωση; Πρέπει να το γνωρίζουν οι μαθητές; Έχετε τσεκάρει πόσοι ακριβώς από τους μαθητές σας το γνωρίζουν;

Προφανώς η εξίσωση υπονοεί ότι αν το σημείο Ο που βρίσκεται στη θέση x=0 αρχίζει να ταλαντώνεται για t0=0 σύμφωνα με την εξίσωση y=Aημωt, εξαιτίας ενός κύματος που διαδίδεται προς τα αριστερά, τότε κάθε σημείο Μ δεξιά του Ο θα έχει ξεκινήσει την ταλάντωσή του πριν  από το Ο κατά χρονικό διάστημα t1=x/υ, οπότε η εξίσωση ταλάντωσης του Μ θα είναι:

y=Aημω(t+t1) = …..  η εξίσωση (2)

Αλλά για να δούμε τι ακριβώς λέει το βιβλίο. Για ένα κύμα που διαδίδεται προς τα αριστερά. Δεν μας λέει που είναι η πηγή. Πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι ανάγκη να ξέρουμε πού είναι η πηγή του κύματος. 

ΚΑΘΕ ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΕΙ ΩΣ ΠΗΓΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΣΤΑ ΔΕΞΙΑ ΤΟΥ (αν το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά) ή ΓΙΑ ΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΣΤΑ ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΤΟΥ) για το κύμα προς τα αριστερά).

-----------------

Επιμένουμε λοιπόν στα παραπάνω σημεία και θέλουμε οι μαθητές μας να το κατανοήσουν και να είναι ικανοί να τα εφαρμόσουν. Τι κάνουμε; Να εφαρμόσουμε τις ιδέες αυτές (προσέξτε δεν έχουμε φύγει καθόλου από αυτά που λέει το βιβλίο έστω και με μισές λέξεις). Πώς να τις εφαρμόσουμε; Προφανώς με κατάλληλα παραδείγματα.

-------------

Παράδειγμα 1ο

Ένα κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου με ταχύτητα 2m/s και συχνότητα 1Ηz. Το πλάτος ταλάντωσης κάθε σημείου είναι Α=0,1m Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος αν:

  1. Το σημείο στη θέση x=0 για t=0 περνά από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα.
  2. Για t=0 το σημείο στη θέση x=0 βρίσκεται στην ακραία θέση του με θετική απομάκρυνση.
  3. Για t=0 ένα σημείο που βρίσκεται στη θέση x=0 έχει ταχύτητα ταλάντωσης υ= -ωΑ.



Παράδειγμα 2ο

Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται με ταχύτητα 2m/s, κατά μήκος του άξονα x από αριστερά προς τα δεξιά και για t=0 φτάνει σε ένα σημείο Ρ στη θέση x1= 4/3 m. Το σημείο Ρ αρχίζει την ταλάντωσή του από τη θέση ισορροπίας και κινείται προς την θετική κατεύθυνση με συχνότητα 1Ηz και πλάτος A=0,2m.

Να βρεθεί την εξίσωση του κύματος.

Είναι η ανάρτηση: Εξίσωση κύματος και φάση.
Παράδειγμα 3ο 

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά   προς τα δεξιά διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα. 

Στο διάγραμμα δίνεται ένα στιγμιότυπο του κύματος που ελήφθη για t=0. Τη στιγμή αυτή το σημείο Ο, στη θέση x=0 έχει μηδενική ταχύτητα και παρατηρούμε ότι θα ξαναέχει ταχύτητα μηδέν αφού μετακινηθεί κατά d=4cm σε χρόνο 0,4s.

Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.




 Παράδειγμα 4ο  

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από δεξιά προς τα αριστερά διαδίδεται ένα κύμα με ταχύτητα υ=2m/s. Το κύμα για t=0 φτάνει στο σημείο Ρ, στη θέση xΡ=2m, το οποίο ξεκινά την ταλάντωσή του κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση (προς τα πάνω). 

Τη στιγμή t΄=0,375s το σημείο Ρ έχει μηδενική ταχύτητα, για δεύτερη φορά, ενώ έχει διανύσει απόσταση d=0,3m.

Ποια η εξίσωση του κύματος;


--------------

Τι νομίζετε συνάδελφοι αν ακολουθήσουμε την προτεινόμενη πορεία είναι τόσο δύσκολα τα πράγματα για τους μαθητές μας; Μήπως πρέπει να παραθέσω προβλήματα πάνω στην εξίσωση του κύματος από διάφορα βιβλία για να κάνουμε σύγκριση; Όχι να μην πω. Ρίξτε όμως μια ματιά στην άσκηση 2.52 του σχολικού βιβλίου σας παρακαλώ και κάνετε την σύγκριση.

Και κάτι ακόμη. Δεν θεοποιούμε ούτε την εξίσωση (1) ούτε την (2) για να τις παπαγαλίσουν οι μαθητές και χωρίς να καταλαβαίνουν σε τι ακριβώς αναφέρονται και τι μας λένε, απλά να τις χρησιμοποιούν τυπικά σε ασκήσεις. Πώς σας φαίνεται έχουμε πρόβλημα με την αρχική φάση της πηγής και ποια είναι αυτή και πώς δουλεύουμε όταν έχουμε αρχική φάση κλπ; Περνάνε όλα φυσιολογικά και θεωρώ με λίγο κόπο και χωρίς να χάνουμε την ουσία.

---------------

Και με την ευκαιρία ας ξαναπούμε τις δυο μορφές που μπορούμε να συναντήσουμε όταν μιλάμε για ένα κύμα που διδίδεται προς τα δεξιά, κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου. Οι μορφές είναι αυτές του παρακάτω σχήματος.

Με άλλα λόγια όταν το κύμα φτάνει σε ένα σημείο Σ, έστω για t0=0 το σημείο αυτό είτε θα αρχίσει την ταλάντωσή του προς τα πάνω, οπότε έχει αρχική φάση φ0=0 και εξίσωση ταλάντωσης y=Αημωt  (σχήμα 1), είτε θα κινηθεί προς τα κάτω έχοντας αρχική φάση φ0=π και εξίσωση ταλάντωσης y=Αημ(ωt+π)  σχήμα (2). Ποιες θα είναι λοιπόν οι αντίστοιχες εξισώσεις για τις δύο αυτές μορφές;

Στο σχήμα (1) για το τυχαίο σημείο Μ στη θέση x δεξιά του Σ θα έχουμε:

Ενώ για το σχήμα (2) με όμοιο τρόπο έχουμε:        

 
Προσέξτε δεν με ενδιαφέρουν οι δύο παραπάνω εξισώσεις και πόσο απλές ή δύσκολες φαίνονται. Άλλωστε δεν τις μαθαίνουμε απέξω. Με ενδιαφέρει να μπορώ να τις βγάζω αν χρειαστεί. Και ο τρόπος που προκύπτουν είναι απλούστατος, αρκεί να ξέρω την απόδειξη του βιβλίου για την εξίσωση του κύματος.

 .


Δεν υπάρχουν σχόλια: