Μεταβολή φάσης κατά την ανάκλαση στα διαμήκη κύματα

Η ανάρτηση απευθύνεται αποκλειστικά σε Καθηγητές. Οι υποψήφιοι καλό είναι να μην ασχοληθούν....

Μετά την ανάρτηση Εξίσωση κύματος, αναπτύχθηκε ένας διάλογος γύρω από το εξής ερώτημα: ένα ηχητικό κύμα ανακλάται σε μια επιφάνεια. Υπάρχει διαφορά φάσης μεταξύ προσπίπτοντος και ανακλώμενου κύματος;

Οι απόψεις είναι δύο:

1) Υπάρχει διαφορά φάσεως ίση με π, όπως και στις χορδές.

2) Δεν παρουσιάζεται διαφορά φάσης.

Ας δούμε το θέμα αναλυτικότερα λοιπόν.

Ποια είναι η εξίσωση ενός διαμήκους αρμονικού κύματος;

Θα μπορούσαμε να γράψουμε κατά αναλογία με τα εγκάρσια κύματα την εξίσωση:

όπου ξ η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας ενός υλικού σημείου στη διεύθυνση της διάδοσης του κύματος.

Η εξίσωση αυτή μου φαίνεται θαυμάσια όταν μελετάμε μια σπείρα ενός ελατηρίου, κατά μήκος του οποίου διαδίδεται ένα εγκάρσιο κύμα.

Αν όμως μιλάμε για ήχο; Τι μπορούμε να φανταστούμε; Την ταλάντωση ενός μορίου.  Τα πράγματα δεν είναι και τόσο απλά. Τα μόρια κινούνται άτακτα (θερμική κίνηση) και αυτό που πραγματικά έχει σημασία είναι η μεταβολή της πίεσης, δηλαδή η διάδοση πυκνωμάτων και αραιωμάτων κατά μήκος π.χ. ενός ηχητικού σωλήνα που διαδίδεται ο ήχος.

Αλλά τότε γιατί να ασχολούμεθα με την απομάκρυση και όχι με την πίεση;

Πράγματι μμπορεί να αποδειχθεί ότι το κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση (1) μπορεί να περιγραφεί και από μια εξίσωση της μορφής:

όπου p η μεταβολή της πίεσης από την σταθερή τιμή p₀ και Ρ το πλάτος αυτής της μεταβολής.

Προσέξτε ότι οι δύο εξισώσεις παρουσιάζουν διαφορά φάσης ίση με π/2.

Δηλαδή όταν η απομάκρυνση ξ από τη θέση ισορροπίας γίνεται μέγιστη ή ελάχιστη η υπερπίεση-υποπίεση είναι μηδέν. Δείτε και τα παρακάτω διαγράμματα που παριστούν στιγμιότυπα ενός τέτοιου κύματος χρησιμοποιώντας την απομάκρυνση, αλλά και την υπερπίεση.

Συμπέρασμα εκεί που η απομάκρυνση είναι ξ=0 έχουμε ή υπερπίεση ή υποπίεση.

Έστω τώρα ένα τέτοιο κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός ηχητικού σωλήνα, φτάνει στο κλειστό άκρο Σ και ανακλάται. Τι συμβαίνει στο άκρο Σ;

Τα μόρια που βρίσκονται σε επαφή με το άκρο πρέπει να έχουν απομάκρυνση μηδενική, αφού το σημείο είναι σταθερό. Η κατάσταση είναι όμοια με την ανάκλαση ενός κύματος πάνω σε χορδή με σταθερό άκρο. Οπότε αναφερόμενοι στην εξίσωση της απομάκρυνσης (1) το ανακλώμενο κύμα παρουσιάζει διαφορά φάσης π με το προσπίπτον.

Αν όμως αναφερόμαστε στην εξίσωση (2) τότε στο άκρο Σ δημιουργείται κοιλία της πίεσης, δηλαδή η μεταβολή της πίεσης Δp είναι μέγιστη.

Αντιγράφω: (για να θυμόμαστε και μια άλλη γλώσσα…)

«Όταν έν πύκνωμα ανακλάται εις το κλειστόν άκρον, και επιστρέφον, συμβάλη με το πρώτον, προκαλεί εκεί πολύ μεγάλην αύξησιν της πιέσεως, ίσην προς 2Δp. Ομοίως, όταν εις το αυτό άκρον ανακλάται εν αραίωμα (-Δp), δημιουργείται εκεί πολύ μεγάλη ελάττωσις της πιέσως, ίση προς -2Δp. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι εις το κλειστόν άκρον η μεταβολή της πιέσεως είναι μεγίστη: Εις το σημείον τούτο, δηλαδή έχομεν κοιλίαν της πιέσεως»

Αλεξόπουλος Ακουστική σελ. 316 (λείπουν τα πνεύματα και οι υπογεγραμμένες !!)

Συνεπώς αν αναφερόμαστε στο κύμα πιέσεως, δεν έχουμε αλλαγή στη φάση μεταξύ προσπίπτοντος και ανακλωμένου κύματος. Η κατάσταση είναι όμοια με την ανάκλαση στο ελεύθερο άκρο της χορδής.

Το πάνω σχήμα δείχνει το στάσιμο κύμα στο εσωτερικό του σωλήνα

 με ανοικτό το ένα άκρο και κλειστό το άλλο, 

όσον αφορά την απομάκρυνση.

Στο κάτω σχήμα το αντίστοιχο διάγραμμα με την

μεταβολή της πίεσης.

Και το ερώτημα ξανατίθεται: Υπάρχει μεταβολή στη φάση κατά την ανάκλαση; Εξαρτάται για ποιο κύμα ενδιαφερόμαστε; Για «το κύμα απομάκρυνσης» ή για το «κύμα πιέσεως». Νομίζω ότι το δεύτερο έχει ουσιαστική φυσική αξία και για το λόγο αυτό θα έλεγα ότι δεν εμφανίζεται διαφορά φάση μεταξύ προσπίπτοντος και ανακλώμενου κύματος.

Βιβλιογραφία:

Κ.Δ. Αλεξόπουλος Μηχανική-Ακουστική.

Halliday-Resnick. Φυσική Α΄τόμος, σελ. 501.