Το καρούλι πάει βόλτα

Από τον συνάδελφο Νίκο Ανδρεάδη πήρα ένα αρχείο για την κίνηση ενός καρουλιού. Αφού τον ευχαριστήσω για την προσφορά του αυτή, την δίνω για μελέτη.

Στο ακίνητο καρούλι του σχήματος ο κεντρικός κύλινδρος έχει ακτίνα r και οι πλαϊνοί R =2r. Στο μέσον του κεντρικού κυλίνδρου είναι τυλιγμένο λεπτό και αβαρές νήμα. Το συνολικό βάρος του καρουλιού είναιw=100N, η ροπή αδράνειας του ως προς άξονα που ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του I=0,5∙(mR²),

ο συντελεστής στατικής τριβής μ_s = 0,5 και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ = 0,5.

Δίνονται: ημ60°=0,86 συν60°=0,5 και g=10m/s².

1. Τραβάμε το καρούλι με δύναμη F έτσι ώστε να μην προκληθεί χάσιμο επαφής με το δάπεδο. Να βρεθεί για ποια τιμή της γωνίας φ το καρούλι μπορεί να παραμένει ακίνητο.

Ο “ψαγμένος” μαθητής θα απαντήσει:

Αφού το σώμα είναι ακίνητο υπό την επίδραση 4 δυνάμεων εκ των οποίων οι 3 διέρχονται από το ίδιο σημείο τότε και η τέταρτη θα διέρχεται από αυτό το σημείο. Άρα φ = 60°.

Ας το δούμε όμως από τη σκοπιά του λιγότερο ψαγμένου μαθητή:

Αφού το καρούλι είναι ακίνητο τότε ΣFx = 0, ΣFy = 0 και Στ_Ο = 0

ΣFx = 0 → Fx – T = 0 → T = F∙συνφ             (1)

Στ_Ο = 0 → T∙R – F∙r = 0 → T = F/2               (2)

(1) ^ (2) → συνφ = 0,5 → φ = 60°

2. Διατηρώντας την γωνία φ=60° αυξάνουμε σταδιακά τη δύναμη F, ποια η μέγιστη τιμή του μέτρου της για να μην χάνεται η επαφή με το δάπεδο;

ΣFy = 0 → Fy + N – w = 0 → N = w – F∙0,86, για να μην χάνεται η επαφή πρέπει Ν ≥ 0 άρα

w – F∙0,86 ≥ 0 → F ≤ w/0,86 → F_max1 = 100/0,86 → F_max1 = 116,279 Ν

3. Διατηρώντας την γωνία φ=60° αυξάνουμε σταδιακά τη δύναμη F, να μελετηθεί η κίνηση του καρουλιού.

Έστω ότι η κίνηση είναι επιταχυνόμενη προς τα δεξιά και η φορά της στατικής τριβής προς τ’ αριστερά.

ΣFx = m∙α_cm → Fx – T = m∙α_cm → F/2 – T = m∙α_cm                             (3)

Στ_Ο = 0 → T∙R – F∙r = I∙α_γων → T∙R – F∙(0,5R) = 0,5∙(mR²)∙(α_cm/R) (4)

(3) ^ (4) → α_cm = 0      (5)

και Τ = F/2                  (6)

Πως ερμηνεύονται τα αποτελέσματα;

Το στερεό δεν θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση διότι α_cm = 0 και θα παραμένει ακίνητο εφόσον το δάπεδο μπορεί να ασκήσει την απαραίτητη στατική τριβή.

Και αν το δάπεδο δεν μπορεί να ασκήσει την απαραίτητη στατική τριβή;

Τότε το στερεό θα εκτελέσει κύλιση με ολίσθηση. Ο Σαββάλας (έκδοση 2001) στη λύση του 6.43 προβλήματος αναφέρει ότι το στερεό θα εκτελέσει μόνο περιστροφική κίνηση.

4. Διατηρώντας την γωνία φ=60° αυξάνουμε σταδιακά τη δύναμη F, ποια η μέγιστη τιμή του μέτρου της F για να παραμένει ακίνητο το στερεό;

ΣFx = 0 → Fx – T = 0 → 0,5∙F = Τ                (7)

ΣFy = 0 → Fy + N – w = 0 → N = w – 0,86∙F  (8)

Στ = 0 → Τ∙R - F∙r = 0 → T = F/2                    (9)

Τ_ορ = μ_s∙Ν                            (10)

(8) ^ (10)  → Τ_ορ = 50 – 0,43∙F                      (11)

Για να παραμένει ακίνητο το στερεό πρέπει Τ ≤ Τ_ορ (12)

(7) ^ (11) ^ (12) → 0,5∙F ≤ 50 – 0,43∙F→

F ≤ 50/0,93 → F  ≤ 53,763 N →

F_max2 = 53,763 N

Παρατηρούμε ότι η αριστερόστροφη ροπή της F δεν πρέπει να υπερβαίνει την μέγιστη τιμή της δεξιόστροφης ροπής της στατικής τριβής δηλαδή:

F∙(0,5R) ≤ T_ορ∙R.

Παρατηρούμε επίσης ότι επειδή F_max2 < F_max1, πρώτα θ’ αρχίσει η κύλιση με ολίσθηση για F > 53,763 N ενώ για F > 116,279 Ν  θα χαθεί η επαφή με το δάπεδο.

5. Ασκούμε τώρα δύναμη μέτρου F=30Ν με γωνία φ=90° (>60°) έτσι ώστε να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση. Ποια θα είναι η κατεύθυνση της κίνησης, η α_cm, η κατεύθυνση και το μέτρο της στατικής τριβής; 

Ας κάνουμε εσκεμμένα λανθασμένη υπόθεση ότι η κίνηση είναι επιταχυνόμενη προς τα δεξιά και η στατική τριβή έχει φορά προς τα δεξιά. Για να καταλήξουμε σε σωστά αποτελέσματα πρέπει να επιλέξουμε τις “σωστές” θετικές φορές που είναι για μεν τον άξονα xx΄ η φορά της α_cm για δε τον άξονα zz΄ η φορά της α_γων και φυσικά να τις λάβουμε υπόψη μας στους τύπους!!!

ΣFx = m∙α_cm →  T = m∙α_cm                  (13)

Στ_Ο = 0 → –T∙R – F∙r = I∙α_γων →
–T∙R – F∙(0,5R) = 0,5∙(mR²)∙(α_cm/R)  (14)

(13) ^ (14) → α_cm = –(F/3m) = –1m/s² και Τ = –(F/3) = –10N

Τα αρνητικά πρόσημα δηλώνουν ότι υποθέσαμε λανθασμένα, όμως τα μέτρα που βρήκαμε για την α_cm και την στατική τριβή είναι σωστά.

Άρα το καρούλι θα κινηθεί προς τ’ αριστερά όπως ήταν αναμενόμενο με α_cm = 1m/s² και η στατική τριβή θα έχει φορά προς τ’ αριστερά όπως ήταν επίσης αναμενόμενο με μέτρο Τ = 10N.

Με απλά λόγια, ενώ τραβάμε προς τα πάνω το καρούλι “φεύγει” αριστερά. Τι σου κάνει η φύση!!!

6. Ασκούμε τώρα δύναμη μέτρου F=30Ν με γωνία φ=0° (<60°)>cm, η κατεύθυνση και το μέτρο της στατικής τριβής;

Η δύναμη F θέλει να κινήσει το στερεό προς τα δεξιά, η ροπή της όμως προς τ’ αριστερά, άρα αναγκαστικάυποθέτουμε. Έστω ότι θα κινηθεί προς τα αριστερά και η στατική τριβή θα έχει φορά προς τα αριστερά. Αφού επιλέξουμε τις “σωστές” θετικές φορές έχουμε:

ΣFx = m∙α_cm →  T – F = m∙α_cm            (15)

Στ_Ο = 0 → F∙r – T∙R = I∙α_γων →
F∙(0,5R) – T∙R = 0,5∙(mR²)∙(α_cm/R)    (16)

(15) ^ (16) → α_cm = –(F/3m) = –1m/s² και
Τ = 2F/3 = 20N

Τα αρνητικό πρόσημα της α_cm δηλώνει ότι υποθέσαμε λανθασμένα, δηλαδή το στερεό θα κινηθεί προς τα δεξιά, όμως το μέτρο που βρήκαμε για την α_cm είναι σωστό. Το θετικό πρόσημο της στατικής τριβής δηλώνει ότι υποθέσαμε σωστά .

Νίκος Ανδρεάδης

Φυσικός

 .