Δευτέρα, 27 Απριλίου 2009

Το καρούλι πάει βόλτα

Από τον συνάδελφο Νίκο Ανδρεάδη πήρα ένα αρχείο για την κίνηση ενός καρουλιού. Αφού τον ευχαριστήσω για την προσφορά του αυτή, την δίνω για μελέτη.
Στο ακίνητο καρούλι του σχήματος ο κεντρικός κύλινδρος έχει ακτίνα και οι πλαϊνοί =2r. Στο μέσον του κεντρικού κυλίνδρου είναι τυλιγμένο λεπτό και αβαρές νήμα. Το συνολικό βάρος του καρουλιού είναιw=100N, η ροπή αδράνειας του ως προς άξονα που ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του I=0,5∙(mR2),
ο συντελεστής στατικής τριβής μs = 0,5 και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ = 0,5.
Δίνονται: ημ60°=0,86 συν60°=0,5 και g=10m/s2.
1. Τραβάμε το καρούλι με δύναμη F έτσι ώστε να μην προκληθεί χάσιμο επαφής με το δάπεδο. Να βρεθεί για ποια τιμή της γωνίας φ το καρούλι μπορεί να παραμένει ακίνητο.

Ο “ψαγμένος” μαθητής θα απαντήσει:
Αφού το σώμα είναι ακίνητο υπό την επίδραση 4 δυνάμεων εκ των οποίων οι 3 διέρχονται από το ίδιο σημείο τότε και η τέταρτη θα διέρχεται από αυτό το σημείο. Άρα φ = 60°.

Ας το δούμε όμως από τη σκοπιά του λιγότερο ψαγμένου μαθητή:
Αφού το καρούλι είναι ακίνητο τότε ΣFx = 0, ΣFy = 0 και ΣτΟ = 0

ΣFx = 0  Fx  T = 0  T = F∙συνφ             (1)
ΣτΟ = 0  TR  Fr = 0  T = F/2               (2)

(1) ^ (2) συνφ = 0,5 φ = 60°
2. Διατηρώντας την γωνία φ=60° αυξάνουμε σταδιακά τη δύναμη F, ποια η μέγιστη τιμή του μέτρου της για να μην χάνεται η επαφή με το δάπεδο;

ΣFy = 0  Fy + N – = 0  N = – F∙0,86, για να μην χάνεται η επαφή πρέπει Ν ≥ 0 άρα
– F∙0,86 ≥ 0  F ≤ w/0,86  Fmax1 = 100/0,86  Fmax1 = 116,279 Ν
3. Διατηρώντας την γωνία φ=60° αυξάνουμε σταδιακά τη δύναμη F, να μελετηθεί η κίνηση του καρουλιού.

Έστω ότι η κίνηση είναι επιταχυνόμενη προς τα δεξιά και η φορά της στατικής τριβής προς τ’ αριστερά.
ΣFx = m∙αcm  Fx – T = m∙αcm  F/2 – T = m∙αcm                             (3)
ΣτΟ = 0  TR – Fr = I∙αγων  T– F∙(0,5R) = 0,5∙(mR2)∙(αcm/R) (4)

(3) ^ (4) αcm = 0      (5)
και Τ = F/2                  (6)

Πως ερμηνεύονται τα αποτελέσματα;
Το στερεό δεν θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση διότι αcm = 0 και θα παραμένει ακίνητο εφόσον το δάπεδο μπορεί να ασκήσει την απαραίτητη στατική τριβή.

Και αν το δάπεδο δεν μπορεί να ασκήσει την απαραίτητη στατική τριβή;
Τότε το στερεό θα εκτελέσει κύλιση με ολίσθηση. Ο Σαββάλας (έκδοση 2001) στη λύση του 6.43 προβλήματος αναφέρει ότι το στερεό θα εκτελέσει μόνο περιστροφική κίνηση.

4. Διατηρώντας την γωνία φ=60° αυξάνουμε σταδιακά τη δύναμη F, ποια η μέγιστη τιμή του μέτρου της για να παραμένει ακίνητο το στερεό;
ΣFx = 0  Fx – T = 0 0,5∙F = Τ                (7)
ΣFy = 0  Fy + N – = 0  N = – 0,86∙F  (8)
Στ = 0  Τ∙R - F∙r = 0  T = F/2                    (9)
Τορ = μsΝ                            (10)
(8) ^ (10)   Τορ = 50 – 0,43∙F                      (11)

Για να παραμένει ακίνητο το στερεό πρέπει Τ ≤ Τορ (12)
(7) ^ (11) ^ (12) 0,5∙≤ 50 – 0,43∙F
≤ 50/0,93  F  ≤ 53,763 
Fmax2 = 53,763 N

Παρατηρούμε ότι η αριστερόστροφη ροπή της δεν πρέπει να υπερβαίνει την μέγιστη τιμή της δεξιόστροφης ροπής της στατικής τριβής δηλαδή:
F∙(0,5R) ≤ TορR.

Παρατηρούμε επίσης ότι επειδή Fmax2 < Fmax1, πρώτα θ’ αρχίσει η κύλιση με ολίσθηση για F > 53,763 N ενώ για F > 116,279 Ν  θα χαθεί η επαφή με το δάπεδο.
5. Ασκούμε τώρα δύναμη μέτρου F=30Ν με γωνία φ=90° (>60°) έτσι ώστε να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση. Ποια θα είναι η κατεύθυνση της κίνησης, η αcm, η κατεύθυνση και το μέτρο της στατικής τριβής; 
Ας κάνουμε εσκεμμένα λανθασμένη υπόθεση ότι η κίνηση είναι επιταχυνόμενη προς τα δεξιά και η στατική τριβή έχει φορά προς τα δεξιά. Για να καταλήξουμε σε σωστά αποτελέσματα πρέπει να επιλέξουμε τις “σωστές” θετικές φορές που είναι για μεν τον άξονα xx΄ η φορά της αcm για δε τον άξονα zz΄ η φορά της αγων και φυσικά να τις λάβουμε υπόψη μας στους τύπους!!!

ΣFx = m∙αcm   T = m∙αcm                  (13)
ΣτΟ = 0 TR – Fr = I∙αγων 
TR – F∙(0,5R) = 0,5∙(mR2)∙(αcm/R)  (14)

(13) ^ (14) αcm = –(F/3m) = –1m/s2 και Τ = –(F/3) = –10N
Τα αρνητικά πρόσημα δηλώνουν ότι υποθέσαμε λανθασμένα, όμως τα μέτρα που βρήκαμε για την αcm και την στατική τριβή είναι σωστά.

Άρα το καρούλι θα κινηθεί προς τ’ αριστερά όπως ήταν αναμενόμενο με αcm = 1m/s2 και η στατική τριβή θα έχει φορά προς τ’ αριστερά όπως ήταν επίσης αναμενόμενο με μέτρο Τ = 10N.

Με απλά λόγια, ενώ τραβάμε προς τα πάνω το καρούλι “φεύγει” αριστερά. Τι σου κάνει η φύση!!!
6. Ασκούμε τώρα δύναμη μέτρου F=30Ν με γωνία φ=0° (<60°)>cm, η κατεύθυνση και το μέτρο της στατικής τριβής;
Η δύναμη θέλει να κινήσει το στερεό προς τα δεξιά, η ροπή της όμως προς τ’ αριστερά, άρα αναγκαστικάυποθέτουμε. Έστω ότι θα κινηθεί προς τα αριστερά και η στατική τριβή θα έχει φορά προς τα αριστερά. Αφού επιλέξουμε τις “σωστές” θετικές φορές έχουμε:

ΣFx = m∙αcm   – F = m∙αcm            (15)
ΣτΟ = 0  F– TR = I∙αγων 
F∙(0,5R) – T= 0,5∙(mR2)∙(αcm/R)    (16)

(15) ^ (16) αcm = –(F/3m) = –1m/s2 και
Τ = 2
F/3 = 20N

Τα αρνητικό πρόσημα της αcm δηλώνει ότι υποθέσαμε λανθασμένα, δηλαδή το στερεό θα κινηθεί προς τα δεξιά, όμως το μέτρο που βρήκαμε για την αcm είναι σωστό. Το θετικό πρόσημο της στατικής τριβής δηλώνει ότι υποθέσαμε σωστά .

Νίκος Ανδρεάδης
Φυσικός
 .

Δεν υπάρχουν σχόλια: