Τρίτη, 28 Απριλίου 2009

Τετραγωνική πλάκα.

Από τον συνάδελφο  Σταύρο Πρωτογεράκη  έλαβα μια σύνθετη άσκηση με κίνηση μιας τετράγωνης πλάκας, κρούση, αλλά και εξάσκηση μιας μεταβλητής δύναμης. Αφού τον ευχαριστήσω για την προσφορά του αυτή, την δίνω για μελέτη.

Μία λεπτή ομογενής πλάκα τετραγωνικού σχήματος μάζας Μ=6kg και πλευράς α=√2/4m  μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από την κορυφή Α. Αρχικά η πλάκα συγκρατείται ακίνητη έτσι ώστε η διαγώνιος ΑΓ να είναι οριζόντια όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ροπή αδράνειας της πλάκας ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό της που διέρχεται από το κέντρο μάζας της υπολογίζεται από τη σχέση : ΙcmM·α2/6

Α. Τη χρονική στιγμή t0=0s αφήνουμε την πλάκα ελεύθερη να κινηθεί.
i)     Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας της πλάκας ως προς τον άξονα περιστροφής της.
ii)    Υπολογίστε τη γωνιακή επιτάχυνση της πλάκας τη χρονική στιγμή t0.
iii)   Υπολογίστε τη γωνιακή ταχύτητα ω1 της πλάκας τη χρονική στιγμή t1 που το κέντρο μάζας της διέρχεται για πρώτη φορά από την κατακόρυφη ευθεία που περνάει από το Α.
iv)   Υπολογίστε τη γραμμική ταχύτητα που έχει το μέσο Ε της πλευράς ΓΔ τη χρονική στιγμή t1 και σχεδιάστε την.
v)    Υπολογίστε την ισχύ του βάρους της πλάκας τη χρονική στιγμή t1.

B. Τη χρονική στιγμή t1 βλήμα αμελητέων διαστάσεων και μάζας m=2kg κινείται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου u και σφηνώνεται στο άκρο Γ της πλάκας όπως φαίνεται στο σχήμα. Η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα και το συσσωμάτωμα φτάνει στη θέση όπου η ΑΓ ξαναγίνεται κατακόρυφη, για πρώτη φορά μετά την κρούση, τη χρονική στιγμή t3 έχοντας γωνιακή ταχύτητα ω3=10rad/s.

i)     Να υπολογίσετε το μέτρο ω2 της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος βλήμα-πλάκα αμέσως μετά την κρούση.
ii)    Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του βλήματος πριν την κρούση.

Γ. Τη χρονική στιγμή t3 στην κορυφή Γ και στη διεύθυνση της πλευράς ΓΔ αρχίζει να εξασκείται οριζόντια δύναμη που επιβραδύνει την πλάκα. Η δύναμη έχει μεταβλητό μέτρο που υπολογίζεται από τη σχέση F=Λ∙θ (S.I.) όπου θ η γωνία που σχηματίζει η διαγώνιος ΑΓ με την κατακόρυφη ξεκινώντας από την ανώτατη θέση. Η πλάκα φτάνει στην θέση που είχε τη χρονική στιγμή t0=0έχοντας ταχύτητα μηδέν.
i)    Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης από τη στιγμή που αυτή άρχισε να εξασκείται έως τη στιγμή που η πλάκα επανήλθε στην αρχική της θέση.
ii)    Να υπολογίσετε τη σταθερά Λ (θεωρήστε ότι π2 ≈10)
  Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας  g=10m/s2.


Δεν υπάρχουν σχόλια: