Τετάρτη, 29 Απριλίου 2009

Οι δίσκοι αποκτούν ίδια γωνιακή ταχύτητα.

Από τον συνάδελφο Μιχάλη Κοκολίνα πήρα μια άσκηση για εφαρμογή της αρχής διατήρησης της στροφορμής στην περίπτωση δύο δίσκων. Αφού τον ευχαριστήσω και για την προσφορά του αυτή, την δίνω για μελέτη.
 ------------------------- 
Δύο ομόκεντροι και ομοεπίπεδοι κυκλικοί δίσκοι, μπορούν να στρέφονται γύρω από τον ίδιο άξονα ο οποίος είναι κάθετος στο επίπεδό τους και διέρχεται από τα κέντρα τους. O 1ος δίσκος έχει ακτίνα R1 = R = 5 cm και μάζα m1 = m = 0,1 kg. Ο 2ος δίσκος έχει ακτίνα R2 = 2R και μάζα m2 = 4m. Αρχικά οι δίσκοι περιστρέφονται ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, κατά την ίδια φορά, με γωνιακές ταχύτητες ω1 = 52 rad/s και  ω2 = 18 rad/s, αντίστοιχα. Κάποια στιγμή οι δίσκοι έρχονται σε επαφή και έπειτα από χρονική διάρκεια Δt = 0,2 s αποκτούν κοινή γωνιακή ταχύτητα.
Α.    Να βρεθεί η κοινή γωνιακή ταχύτητα του συστήματος των δύο τροχών μετά την επαφή τους.
Β.    Να βρεθεί το μέτρο της ροπής που ασκήθηκε σε κάθε τροχό από την στιγμή που ήρθαν σε επαφή μέχρι την στιγμή που απέκτησαν κοινή γωνιακή ταχύτητα, αν αυτή θεωρηθεί σταθερή.
Γ.    Να βρεθεί το ποσό της θερμότητας που παράχθηκε κατά την διάρκεια του φαινομένου.
Δίνεται η ροπή αδράνειας ομογενούς δίσκου ακτίνας R και μάζας m, γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του: Ι= ½ mR2.

.

5 σχόλια:

ΔΗΜΗΤΡΗΣ είπε...

Μια ερώτηση

Αν οι δίσκοι είχαν διαφορετικές ακτίνες ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορμής για το σύστημα των δυο δίσκων;

Διονύσης Μάργαρης είπε...

Ναι ισχύει, δεν έχει καμιά σημασία η ακτίνα των δίσκων.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ είπε...

Έχετε δίκιο δεν πρόσεξα ότι οι δίσκοι στρέφονται γύρω από τον ίδιο άξονα. Στο μυαλό μου είχα ένα άλλο πρόβλημα, που αν έχω χρόνο θα σας το στείλω. Ευχαριστώ

Thodoris είπε...

Μια ανάρτηση με ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τις εξετάσεις που πλησιάζουν. Πιστεύω και απευθύνομαι στους μαθητές που διαβάζουν το Blog, πως ο βαθμός δυσκολίας των θεμάτων που θα συναντήσετε, δε θα ξεπεράσει το βαθμό δυσκολίας της συγκεκριμένης ανάρτησης. Το αναφέρω διότι, οι τελευταίες αναρτήσεις, μπορεί να σας φόβησαν.

Μία παρατήρηση στο συνάδελφο Μιχάλη,
σαν σχόλιο μπορούμε να αναφέρουμε, πως αφού η στροφορμή του συστήματος διατηρείται, ισχύει ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ:
ΔL(ολ)=0 άρα ΔL(1)+ΔL(2)=0 άρα ΔL(1)=-ΔL(2) και αφού οι μεταβολές πραγματοποιούνται στον ίδιο χρόνο, τα μέτρα των μέσων ροπών σε κάθε δίσκο (γιατί αλλού δίσκος, αλλού τροχός;) θα είναι ίσα. Δηλαδή δε χρειάζεται να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία για το 2ο δίσκο.

Επίσης αν μου επιτρέπει ο συνάδελφος να προσθέσω ένα ερώτημα (αφού είχα έτοιμη μια ίδια ανάρτηση): Να βρεθεί το έργο της ροπής της τριβής σε κάθε δίσκο και να εξηγηθούν οι ενεργειακές μετατροπές.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Για τον 1ο δίσκο: Wτ1=ΔΚ(1)=Κ(τελ)-Κ(αρχ)=
1/2 Ι(1)ω^2- 1/2 Ι(1)ω(1)^2=-0,144J
όπου ω=20rad/s και ω(1)=52rad/s
Για το 2ο δίσκο:
Wτ2=ΔΚ(2)=Κ(τελ)-Κ(αρχ)=
=1/2 Ι(2)ω^2- 1/2Ι(1)ω(2)^2=0,076J
όπου ω=20rad/s και ω(2)=18rad/s

Δηλαδή, από το 1ο δίσκο αφαιρείται ενέργεια, μέσω του έργου της ροπής της τριβής, ίση με 0,144J. Λογικό αφού ο 1ος δίσκος επιβραδύνεται. Στο 2ο δίσκο, προσφέρεται ενέργεια μέσω του έργου της ροπής της τριβής, ίση με 0,076J. Λογικό αφού ο 2ος επιταχύνεται. Η ενέργεια αυτή προέρχεται από την ελάττωση της κινητικής του 1ου. Η διαφορά 0,144J-0,076J=0,068J εμφανίζεται ως θερμότητα, η οποία προκαλεί αύξηση της θερμοκρασίας των τριβόμενων δίσκων.
Με εκτίμηση
Θοδωρής Παπασγουρίδης

michalisko είπε...

Προς τον thodoris
Έχετε απόλυτο δίκιο στην παρατήρηση για την μεταβολή της στροφορμής. Το ερώτημα που προσθέσατε είναι εξαιρετικό.
Σας ευχαριστώ, Μιχάλης Κοκολίνας.